The first row of a hall has (12) chairs and each next row has (2) more chairs. If there are (432) chairs in total then how many rows are there?एक हॉल की पहली पंक्ति में (12) कुर्सियां हैं और हर अगली पंक्ति में (2) कुर्सियां अधिक हैं। यदि कुल (432) कुर्सियां हैं तो पंक्तियों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (16)(16)
The direct answer is C: there are 16 rows. The numbers of chairs form an arithmetic progression because each row increases by the same amount, 2. Here the first term is a=12, common difference is d=2, and the total is S_n=432. Use the sum formula: S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]. Substitution gives 432=\frac{n}{2}[24+2(n-1)]=\frac{n}{2}(2n+22)=n(n+11). Thus n^2+11n-432=0. Factoring gives (n-16)(n+27)=0, so n=16 because a number of rows cannot be negative. Option A, 14, gives 14(25)=350 chairs, not 432. Option B, 15, gives 15(26)=390. Option C, 16, gives 16(27)=432 and is correct. Option D, 17, gives 17(28)=476. The common mistake is to use the last term formula without checking the total. First identify the AP, then use the sum formula.सीधा उत्तर C है: पंक्तियों की संख्या 16 है। कुर्सियों की संख्याएँ समांतर श्रेणी बनाती हैं, क्योंकि हर अगली पंक्ति में समान 2 कुर्सियाँ बढ़ती हैं। यहाँ पहला पद a=12, सार्व अंतर d=2 और कुल योग S_n=432 है। योग का सूत्र लगाएँ: S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]. मान रखने पर 432=\frac{n}{2}[24+2(n-1)]=\frac{n}{2}(2n+22)=n(n+11) मिलता है। इसलिए n^2+11n-432=0। गुणनखंड करने पर (n-16)(n+27)=0 मिलता है। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए n=16 होगा। विकल्प A, 14, पर 14(25)=350 कुर्सियाँ मिलती हैं, 432 नहीं। विकल्प B, 15, पर 15(26)=390 मिलती हैं। विकल्प C, 16, पर 16(27)=432 मिलती हैं और यही सही है। विकल्प D, 17, पर 17(28)=476 मिलती हैं। सामान्य गलती है कि कुल योग के बजाय केवल अंतिम पद का सूत्र लगाया जाए। पहले AP पहचानें, फिर योग का सूत्र लगाएँ।
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