If (\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}), which statement is correct in graphical method?यदि (\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}), तो ग्राफीय विधि में कौन-सा कथन सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: There is exactly (1) solutionठीक (1) हल होता है
The direct answer is C: there is exactly one solution. For two lines \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), unequal ratios \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) mean their direction slopes are different. Lines with different slopes cannot remain parallel or identical; they meet at one and only one point. Therefore the pair is consistent and independent and has exactly one solution. Option A, no solution, applies to distinct parallel lines, usually when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Option B, infinitely many solutions, applies to coincident lines, when all three ratios are equal. Option C is correct. Option D is wrong because unequal coefficient ratios do not make lines identical; identical lines require matching ratios. Exam cue: compare the first two ratios. Unequal means one intersection; equal first two ratios require checking the constant ratio.सीधा उत्तर C है: ठीक एक हल होता है। दो रेखाओं \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो उनकी दिशाएँ या ढलान अलग होती हैं। अलग ढलान वाली दो सीधी रेखाएँ न तो समानांतर रह सकती हैं और न ही एक-दूसरे पर पूरी तरह मिल सकती हैं; वे एक और केवल एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका ठीक एक हल है। विकल्प A, कोई हल नहीं, अलग समांतर रेखाओं के लिए होता है, जहाँ सामान्यतः पहले दो अनुपात बराबर लेकिन नियतांक का अनुपात अलग होता है। विकल्प B, अनंत हल, संपाती रेखाओं के लिए होता है, जहाँ तीनों अनुपात बराबर होते हैं। विकल्प C सही है। विकल्प D गलत है, क्योंकि असमान अनुपात रेखाओं को समान नहीं बनाते; समान रेखाओं के लिए अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा संकेत: पहले दो अनुपात देखें। वे असमान हों तो एक प्रतिच्छेद बिंदु; वे समान हों तो तीसरे अनुपात से समांतर या संपाती का निर्णय करें।
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