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SubjectsMathematics
This Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables explains two systematic ways to solve a pair of simultaneous linear equations: the substitution method and the elimination method. Students learn how to rearrange an equation, substitute an expression into the other equation, and eliminate a variable by adding, subtracting, or multiplying equations suitably. They also practise checking solutions and interpreting the ordered pair that satisfies both equations.
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TOPIC PRACTICE
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From 4x − y = 11, we get y = 4x − 11. Substituting this into the second equation gives 2x + 3(4x − 11) = 23, so 14x = 56 and x = 4. Therefore, y = 4(4) − 11 = 5.4x − y = 11 से y = 4x − 11 मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर 2x + 3(4x − 11) = 23, इसलिए 14x = 56 और x = 4। अतः y = 4(4) − 11 = 5।
Adding the equations eliminates y and gives 10x = 40, so x = 4. Substituting into 3x − 2y = 2 gives 12 − 2y = 2, hence y = 5. Therefore, x + y = 4 + 5 = 9.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y समाप्त हो जाता है और 10x = 40 मिलता है, इसलिए x = 4। इसे 3x − 2y = 2 में रखने पर 12 − 2y = 2, अतः y = 5। इसलिए x + y = 4 + 5 = 9।
Adding the equations eliminates y and gives 11x = 44, so x = 4. Substituting into 2x + 5y = 23 gives 8 + 5y = 23, so y = 3. Thus, x − y = 4 − 3 = 1.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y समाप्त हो जाता है और 11x = 44 मिलता है, इसलिए x = 4। इसे 2x + 5y = 23 में रखने पर 8 + 5y = 23, अतः y = 3। इसलिए x − y = 4 − 3 = 1।
Subtract the second equation from the first: (6x + 7y) − (6x − 2y) = 55 − 10, so 9y = 45 and y = 5. The equal coefficients of x make subtraction a direct way to eliminate x.दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाएँ: (6x + 7y) − (6x − 2y) = 55 − 10। इससे 9y = 45, इसलिए y = 5। x के गुणांक समान होने के कारण घटाने से x सीधे समाप्त हो जाता है।
The equations are \(3x+4y=26\) and \(5x-2y=22\). Multiplying the second equation by 2 gives \(10x-4y=44\). Adding it to the first equation eliminates \(y\): \(13x=70\), so \(x=\frac{70}{13}\). Substituting this into the second equation gives \(y=\frac{32}{13}\). Therefore, \(2x+y=2\left(\frac{70}{13}\right)+\frac{32}{13}=\frac{172}{13}\). Hence, option D is correct. Exam tip: Substitute the calculated values back into both original equations to verify the solution.दिए गए समीकरण हैं: \(3x+4y=26\) और \(5x-2y=22\)। दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर \(10x-4y=44\) प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर \(13x=70\), अतः \(x=\frac{70}{13}\)। अब दूसरे समीकरण में रखने पर \(y=\frac{32}{13}\) मिलता है। इसलिए \(2x+y=2\left(\frac{70}{13}\right)+\frac{32}{13}=\frac{172}{13}\)। अतः सही उत्तर विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प को चुनने से पहले प्राप्त \(x\) और \(y\) को मूल समीकरणों में रखकर जाँच करें।
Adding the two equations gives \((11x+4y)+(7x-4y)=68+4\), so \(18x=72\). Hence, \(x=4\). Substituting \(x=4\) into \(7x-4y=4\) gives \(28-4y=4\), and therefore \(y=6\). Thus, the correct solution is \((4,6)\). In option A, substituting \(x=3\) does not satisfy the second equation. Exam tip: When the coefficients of one variable are opposites, add the equations to eliminate that variable directly.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \((11x+4y)+(7x-4y)=68+4\), अर्थात \(18x=72\) मिलता है। इसलिए \(x=4\)। अब \(7x-4y=4\) में \(x=4\) रखने पर \(28-4y=4\), अतः \(y=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही हल \((4,6)\) है। विकल्प A में \(x=3\) रखने पर दूसरा समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्न वाले \(y\)-पदों को देखकर समीकरणों को सीधे जोड़ें।
Substitute x = 3y − 2 into 2x + y = 31: 2(3y − 2) + y = 31, so 7y = 35 and y = 5. Then x = 3(5) − 2 = 13, so x + y = 13 + 5 = 18.2x + y = 31 में x = 3y − 2 रखने पर 2(3y − 2) + y = 31, इसलिए 7y = 35 और y = 5। तब x = 3(5) − 2 = 13, अतः x + y = 13 + 5 = 18।
Adding the two equations eliminates y because 5y and -5y cancel: 12x=36, so x=3. Substituting x=3 into 4x+5y=7 gives 12+5y=7, hence y=-1. Therefore, 3x-y=3(3)-(-1)=10. In an exam, be careful when subtracting a negative value, as the sign changes; this is the most common error in this question.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 5y और -5y कट जाते हैं: 12x=36, इसलिए x=3। अब 4x+5y=7 में x=3 रखने पर 12+5y=7, अतः y=-1। इसलिए 3x-y=3(3)-(-1)=10। परीक्षा में ऋणात्मक y को घटाते समय चिन्ह पर विशेष ध्यान दें; इसी में अक्सर गलती होती है।
Let the greater number be x and the smaller number be y. Then x + y = 41 and x − y = 9. Adding these equations gives 2x = 50, so the greater number is x = 25.बड़ी संख्या को x और छोटी संख्या को y मानें। तब x + y = 41 और x − y = 9। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 50 मिलता है, इसलिए बड़ी संख्या x = 25 है।
Let the numerator be x, so the denominator is x + 5. Then (x + 3)/(x + 6) = 2/3, giving 3x + 9 = 2x + 12 and x = 3. The denominator is 8, so the original fraction is 3/8.अंश को x मानें, तो हर x + 5 होगा। तब (x + 3)/(x + 6) = 2/3 से 3x + 9 = 2x + 12, इसलिए x = 3। हर 8 है, अतः मूल भिन्न 3/8 है।
Let the price of one pencil be \(p\) rupees and that of one eraser be \(e\) rupees. The equations are \(3p+2e=31\) and \(2p+5e=47\). Multiplying the first equation by 5 and the second by 2 gives \(15p+10e=155\) and \(4p+10e=94\). Subtracting, \(11p=61\), so \(p=\frac{61}{11}\) rupees. Therefore, option B is correct. The value 6 rupees in option C is close, but it does not satisfy the equations exactly. Exam tip: In the elimination method, make the coefficients of one variable equal before adding or subtracting the equations.मान लें कि एक पेंसिल की कीमत \(p\) रुपये और एक रबर की कीमत \(e\) रुपये है। तब समीकरण होंगे \(3p+2e=31\) और \(2p+5e=47\)। पहले समीकरण को 5 से तथा दूसरे को 2 से गुणा करने पर \(15p+10e=155\) और \(4p+10e=94\) प्राप्त होते हैं। घटाने पर \(11p=61\), इसलिए \(p=\frac{61}{11}\) रुपये। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C का 6 रुपये उत्तर के निकट है, लेकिन वह समीकरणों को ठीक-ठीक संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: विलोपन विधि में किसी एक चर के गुणांक समान करके घटाएँ या जोड़ें।
Subtract the first equation from the second: 3x = 24, so x = 8. Substituting into 2x + 3y = 18 gives y = 2/3. Thus x:y = 8:2/3 = 24:2 = 12:1.दूसरे समीकरण में से पहला घटाने पर 3x = 24, इसलिए x = 8। इसे 2x + 3y = 18 में रखने पर y = 2/3 मिलता है। अतः x:y = 8:2/3 = 24:2 = 12:1।
From the first equation, x = 4y − 14. Substituting into the second gives 3(4y − 14) + 2y = 32, so 14y = 74 and y = 37/7.पहले समीकरण से x = 4y − 14 मिलता है। इसे दूसरे में रखने पर 3(4y − 14) + 2y = 32, अर्थात 14y = 74। इसलिए y = 37/7।
Let the tens digit be x and the units digit be y. Then x + y = 13. The original number is 10x + y and the reversed number is 10y + x. Using the given condition, (10x + y) − (10y + x) = 45, so 9(x − y) = 45 and x − y = 5. Solving x + y = 13 and x − y = 5 gives x = 9 and y = 4. Therefore, the original number is 94. Option 85 has a digit sum of 13, but reversing it reduces the number by only 27, so it is incorrect. Exam tip: represent a two-digit number as 10x + y and its reversal as 10y + x.दहाई अंक को x और इकाई अंक को y मानें। तब x + y = 13। मूल संख्या 10x + y और उलटी संख्या 10y + x होगी। शर्त के अनुसार (10x + y) − (10y + x) = 45, इसलिए 9(x − y) = 45 तथा x − y = 5। दोनों समीकरणों को हल करने पर x = 9 और y = 4 प्राप्त होते हैं। अतः मूल संख्या 94 है। विकल्प 85 में अंकों का योग तो 13 है, लेकिन उलटने पर कमी 45 नहीं, बल्कि 27 होती है। परीक्षा-युक्ति: दो अंकों की संख्या को हमेशा 10x + y के रूप में लिखकर उलटी संख्या 10y + x रखें।
Multiplying both equations by 10 gives \(2x-5y=10\) and \(5x+2y=110\). Multiply the first equation by 2 and the second by 5 to obtain \(4x-10y=20\) and \(25x+10y=550\). Adding them gives \(29x=570\), so \(x=\frac{570}{29}\). Although \(20\) is a nearby value, it does not satisfy the system. Exam tip: For linear equations containing fractions, first multiply by the LCM to remove the fractions.दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर \(2x-5y=10\) तथा \(5x+2y=110\) प्राप्त होते हैं। पहले समीकरण को 2 से और दूसरे को 5 से गुणा करने पर \(4x-10y=20\) तथा \(25x+10y=550\) मिलते हैं। इन्हें जोड़ने पर \(29x=570\), अतः \(x=\frac{570}{29}\) होगा। \(20\) निकट मान हो सकता है, पर यह समीकरणों का सही हल नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाले रैखिक समीकरणों में पहले LCM से गुणा करके भिन्न हटाना उपयोगी रहता है।
Multiplying both equations by 10 gives \(3x+2y=31\) and \(6x-2y=23\). Adding these equations eliminates \(y\): \(9x=54\), so \(x=6\). Therefore, option C is correct. In an exam, first clear the decimals and then eliminate the variable whose coefficients are opposites.दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: \(3x+2y=31\) और \(6x-2y=23\)। अब दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(9x=54\), अतः \(x=6\)। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में दशमलव हटाने के लिए सभी पदों को 10 से गुणा करना और फिर विपरीत गुणांकों वाले चर को समाप्त करना उपयोगी रहता है।
Using y = 3 in 4x − 2y = 10 gives 4x − 6 = 10, so x = 4. Substituting x = 4 and y = 3 into the first equation gives 16 + 3k = 34, hence k = 6.4x − 2y = 10 में y = 3 रखने पर 4x − 6 = 10, इसलिए x = 4। अब पहले समीकरण में x = 4 और y = 3 रखने पर 16 + 3k = 34, अतः k = 6।
In the given solution, y=2. Substituting this into the second equation, 3x-y=7, gives 3x-2=7, so x=3. Substituting x=3 and y=2 into the first equation, px+y=17, gives 3p+2=17; hence 3p=15 and p=5. Therefore, option C is correct. Exam tip: First use the given value to find the other variable, and then substitute both values into the equation containing the parameter.दिए गए हल में y=2 है। दूसरे समीकरण 3x-y=7 में रखने पर 3x-2=7, अतः x=3। अब पहले समीकरण px+y=17 में x=3 और y=2 रखने पर 3p+2=17, इसलिए 3p=15 और p=5। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: किसी अज्ञात पैरामीटर का मान निकालने से पहले दिए गए हल से दूसरे चर का मान अवश्य ज्ञात करें।
The direct answer is option B, 2 km/h. Downstream speed equals boat speed plus stream speed, while upstream speed equals boat speed minus stream speed. Let the still-water boat speed be b and stream speed be s. Downstream speed is 42/3=14 km/h, so b+s=14. Upstream speed is 30/3=10 km/h, so b-s=10. Subtract the second equation from the first: (b+s)-(b-s)=14-10, giving 2s=4 and therefore s=2 km/h. Option A, 1, would make the difference between downstream and upstream speeds only 2, not 4. Option B is correct. Option C, 3, would give a speed difference of 6, and option D, 4, would give a difference of 8; neither matches the data. The boat speed would be b=12 km/h, confirming downstream 14 and upstream 10. Memory cue: stream speed is half the difference of downstream and upstream speeds.सीधा उत्तर विकल्प B, 2 किमी/घंटा है। धारा के साथ चाल = स्थिर पानी में नाव की चाल + धारा की चाल होती है, जबकि धारा के विरुद्ध चाल = नाव की चाल - धारा की चाल होती है। नाव की चाल b और धारा की चाल s मानें। नीचे की ओर चाल 42/3=14 किमी/घंटा है, इसलिए b+s=14। ऊपर की ओर चाल 30/3=10 किमी/घंटा है, इसलिए b-s=10। दोनों समीकरण घटाने पर 2s=4, अतः s=2 किमी/घंटा। विकल्प A, 1, लेने पर दोनों चालों का अंतर केवल 2 होगा, जबकि यहाँ अंतर 4 है। विकल्प B सही है। विकल्प C, 3, से अंतर 6 और विकल्प D, 4, से अंतर 8 आएगा; दोनों दिए गए आँकड़ों से मेल नहीं खाते। अतिरिक्त जाँच में b=12 मिलता है, जिससे 12+2=14 और 12-2=10 सही हैं। याद रखें: धारा की चाल = नीचे की ओर चाल और ऊपर की ओर चाल के अंतर का आधा।
Let Ram’s and Shyam’s present ages be \(r\) and \(s\) years, respectively. From the first condition, \(r-s=6\). After four years, their total age will be \((r+4)+(s+4)=50\), giving \(r+s=42\). Adding the two equations, \(2r=48\), so \(r=24\) years. Therefore, option B is correct. Exam tip: in age-sum problems, add the elapsed years to both people’s ages before forming the equation.मान लें कि राम और श्याम की वर्तमान आयु क्रमशः \(r\) और \(s\) वर्ष है। पहली शर्त से \(r-s=6\)। चार वर्ष बाद आयुओं का योग \((r+4)+(s+4)=50\) होगा, इसलिए \(r+s=42\)। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2r=48\), अतः \(r=24\) वर्ष। इसलिए सही उत्तर 24 वर्ष है। परीक्षा-युक्ति: आयु के प्रश्नों में भविष्य की आयु का योग बनाते समय प्रत्येक व्यक्ति की आयु में बीते वर्षों को जोड़ना न भूलें।
Let the cheaper and costlier ticket prices be c and e. Then c + e = 275 and e − c = 65. Subtracting the second equation from the first gives 2c = 210, so the cheaper ticket costs ₹105.मान लें सस्ते और महँगे टिकटों की कीमतें क्रमशः c और e हैं। तब c + e = 275 और e − c = 65। पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर 2c = 210 मिलता है, इसलिए सस्ते टिकट की कीमत ₹105 है।
Let u = 1/x and v = 1/y. The equations become 3u + 2v = 13 and 2u − v = 3. From the second equation, v = 2u − 3. Substituting gives 3u + 2(2u − 3) = 13, so 7u = 19 and 1/x = u = 19/7.मान लें u = 1/x और v = 1/y। तब समीकरण 3u + 2v = 13 और 2u − v = 3 होंगे। दूसरे समीकरण से v = 2u − 3। इसे पहले में रखने पर 3u + 2(2u − 3) = 13, इसलिए 7u = 19 और 1/x = u = 19/7।
Set u = x − 2 and v = y + 1. Adding 3u + 2v = 31 and 5u − 2v = 21 gives 8u = 52, so u = 13/2. Then 2v = 31 − 3(13/2) = 23/2, so v = 23/4. Thus x = u + 2 = 17/2 and y = v − 1 = 19/4, giving x + y = 53/4.मान लें u = x − 2 और v = y + 1। समीकरण 3u + 2v = 31 और 5u − 2v = 21 जोड़ने पर 8u = 52, इसलिए u = 13/2। फिर 2v = 31 − 3(13/2) = 23/2, अतः v = 23/4। इसलिए x = u + 2 = 17/2 और y = v − 1 = 19/4; अतः x + y = 53/4।
Multiply the second equation by 3 to get 15x − 9y = 42. Adding this to 2x + 9y = 61 gives 17x = 103, so x = 103/17.दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर 15x − 9y = 42 मिलता है। इसे 2x + 9y = 61 में जोड़ने पर 17x = 103, इसलिए x = 103/17।
Multiply the first equation by 2 to obtain 4x + 10y = 62. Adding the second equation eliminates y and gives 7x = 50, so x = 50/7.पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर 4x + 10y = 62 मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में जोड़ने पर y समाप्त हो जाता है और 7x = 50 मिलता है, इसलिए x = 50/7।
