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SubjectsMathematics
This Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables explains two systematic ways to solve a pair of simultaneous linear equations: the substitution method and the elimination method. Students learn how to rearrange an equation, substitute an expression into the other equation, and eliminate a variable by adding, subtracting, or multiplying equations suitably. They also practise checking solutions and interpreting the ordered pair that satisfies both equations.
Easy · Level 7 · 10 questions
TOPIC PRACTICE
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From the first equation (y=15-3x); substituting gives (x+45-9x=13), so (x=4) and (y=3). Isolate the simpler variable in substitution.पहले समीकरण से (y=15-3x); रखने पर (x+45-9x=13), इसलिए (x=4) और (y=3)। प्रतिस्थापन में सरल चर अलग करें।
Subtracting the equations gives (x-y=-2), so (x=y-2); substituting gives (y=6) and (x=4). Put the relation obtained by elimination into an original equation.दोनों समीकरण घटाने पर (x-y=-2), इसलिए (x=y-2); रखने पर (y=6) और (x=4)। विलोपन के बाद मिले संबंध को मूल समीकरण में रखें।
The answer is C, (3,7). Substitution means replacing a variable in one equation by an expression equal to that variable. Since y=2x+1, put 2x+1 in place of y in x+y=10. This gives x+(2x+1)=10, so 3x+1=10, 3x=9, and x=3. Now substitute x=3 into y=2x+1: y=2(3)+1=7. Therefore the ordered pair is (x,y)=(3,7). Check both original equations: 3+7=10 and 7=2(3)+1, so the pair is correct. A gives 2+8=10 but 8 is not 2(2)+1. B and D also fail at least one equation. Always check both equations because satisfying only one is not enough.सही उत्तर C, (3,7) है। प्रतिस्थापन विधि में एक चर के दिए गए व्यंजक को दूसरे समीकरण में रखकर एक ही चर का समीकरण बनाया जाता है। यहाँ y=2x+1 है, इसलिए x+y=10 में y के स्थान पर 2x+1 रखें। तब x+(2x+1)=10, अर्थात 3x+1=10। 1 घटाने पर 3x=9 और 3 से भाग देने पर x=3 मिलता है। अब पहले समीकरण में x=3 रखने पर y=2(3)+1=7। इसलिए क्रमित युग्म (x,y)=(3,7) है। जाँच करें: 3+7=10 और 7=2(3)+1, दोनों सही हैं। विकल्प A का योग 10 तो है, लेकिन 8=2(2)+1 नहीं है। B और D भी दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करते। याद रखें, हल वही है जो दोनों मूल समीकरणों को सत्य बनाए।
The requested expression appears directly when the equations are subtracted. Subtract the first equation, 5x + 6y = 142, from the second equation, 6x + 5y = 144. On the left, 6x - 5x = x and 5y - 6y = -y, so the result is x - y. On the right, 144 - 142 = 2. Therefore x - y = 2, and option B is correct. There is no need to solve separately for x and y because the coefficients are arranged so that subtraction produces exactly the requested expression. Options A, C, and D do not follow from the direct subtraction and would result from an arithmetic or sign error.यहाँ माँगा गया व्यंजक दोनों समीकरणों को घटाने पर सीधे प्राप्त हो जाता है। दूसरे समीकरण 6x + 5y = 144 में से पहले समीकरण 5x + 6y = 142 घटाएँ। बाएँ पक्ष पर 6x - 5x = x और 5y - 6y = -y होगा, इसलिए परिणाम x - y मिलेगा। दाएँ पक्ष पर 144 - 142 = 2 है। अतः x - y = 2 और विकल्प B सही है। इस प्रश्न में x तथा y को अलग-अलग हल करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि गुणांक इस प्रकार दिए गए हैं कि घटाने पर वांछित व्यंजक तुरंत बन जाता है। विकल्प A, C और D घटाव या चिह्न की गणना में हुई संभावित त्रुटियों को दर्शाते हैं।
The governing concept is the elimination method for a pair of linear equations. The coefficients of y are -7 and +7, so adding the equations removes y without requiring a preliminary multiplication: (4x - 7y) + (6x + 7y) = 9 + 71. Thus 10x = 80, giving x = 8. Substitute this value into 4x - 7y = 9: 4(8) - 7y = 9, so 32 - 7y = 9, hence 7y = 23 and y = 23/7. Therefore x + y = 8 + 23/7 = 56/7 + 23/7 = 79/7. Option D is correct. Option C may result from an addition error, while A and B do not satisfy the obtained values. Substitution confirms both original equations.यह प्रश्न दो चरों वाले रैखिक समीकरणों की विलोपन विधि पर आधारित है। y के गुणांक -7 और +7 विपरीत हैं, इसलिए दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y के पद सीधे समाप्त हो जाते हैं: (4x - 7y) + (6x + 7y) = 9 + 71। इससे 10x = 80 और x = 8 प्राप्त होता है। अब x = 8 को पहले समीकरण में रखने पर 4(8) - 7y = 9, अर्थात 32 - 7y = 9। इसलिए 7y = 23 और y = 23/7। अतः x + y = 8 + 23/7 = 56/7 + 23/7 = 79/7। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C जोड़ने की गलती से आ सकता है, जबकि A और B सही हल से मेल नहीं खाते। मूल दोनों समीकरणों में मान रखने पर परिणाम सत्यापित हो जाता है।
The elimination method requires the y-terms to have equal magnitudes and opposite signs before the equations are added. The first equation contains −15y, whereas the second contains +5y. If the second equation is multiplied by k, its y-term becomes 5ky. To cancel −15y, we need 5k = 15, so k = 3. Indeed, multiplying 4x + 5y = 23 by 3 gives 12x + 15y = 69; adding it to 6x − 15y = 9 removes y exactly. Therefore option B is correct. Multipliers 2, 4, and 5 produce 10y, 20y, and 25y, respectively, so none of them directly eliminates the −15y term.विलोपन विधि में समीकरणों को जोड़कर y हटाने के लिए y के पदों के परिमाण समान और चिह्न विपरीत होने चाहिए। पहले समीकरण में −15y है, जबकि दूसरे में +5y है। यदि दूसरे समीकरण को k से गुणा किया जाए, तो उसका y पद 5ky होगा। −15y को काटने के लिए 5k = 15 होना चाहिए, इसलिए k = 3। वास्तव में, 4x + 5y = 23 को 3 से गुणा करने पर 12x + 15y = 69 मिलता है। इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर +15y और −15y समाप्त हो जाते हैं। अतः विकल्प B सही है। 2, 4 और 5 से गुणा करने पर क्रमशः 10y, 20y और 25y मिलेंगे, जो −15y को सीधे नहीं काटते।
The governing idea is elimination using equal coefficients of x. Both equations contain 13x, so subtract the first equation from the second: (13x + 4y) - (13x - 6y) = 48 - 8. The x-terms cancel, and carefully combining the y-terms gives 4y + 6y = 10y. Thus 10y = 40 and y = 4. A consistency check is useful: with y=4, the first equation gives 13x - 24 = 8, so 13x = 32; the second gives 13x + 16 = 48, also yielding 13x = 32. Therefore option C is correct. Values 2, 3, and 5 may result from subtracting the y-coefficients incorrectly or dividing 40 by the wrong number.यहाँ x के समान गुणांकों का उपयोग करके विलोपन विधि लगाई जाती है। दोनों समीकरणों में 13x समान है, इसलिए पहले समीकरण को दूसरे से घटाएँ: (13x + 4y) - (13x - 6y) = 48 - 8। x के पद कट जाते हैं और y के पद 4y + 6y = 10y बनते हैं। अतः 10y = 40 और y = 4। परिणाम की जाँच करें: y = 4 रखने पर पहले समीकरण से 13x - 24 = 8, अर्थात 13x = 32 मिलता है। दूसरे समीकरण में 13x + 16 = 48 रखने पर भी 13x = 32 मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। 2, 3 और 5 गलत घटाव, संकेत की उपेक्षा या 40 को गलत संख्या से भाग देने के कारण मिल सकते हैं।
The elimination method removes one variable by adding or subtracting equations whose coefficients are opposites. Here the y-coefficients are +3 and −3, so add the equations directly: (8x + 3y) + (5x − 3y) = 46 + 19. The y terms cancel, leaving 13x = 65. Dividing both sides by 13 gives x = 5. Substituting x = 5 into the first equation gives 40 + 3y = 46, so y = 2; the second equation checks as 25 − 6 = 19. Hence option C is correct. Options A, B and D do not satisfy the resulting equation 13x = 65, so they cannot be the solution.विलोपन विधि में किसी एक चर को हटाने के लिए दोनों समीकरणों को जोड़ा या घटाया जाता है। यहाँ y के गुणांक +3 और −3 हैं, इसलिए दोनों समीकरणों को सीधे जोड़ना उचित है: (8x + 3y) + (5x − 3y) = 46 + 19। y वाले पद कट जाते हैं और 13x = 65 प्राप्त होता है। 13 से भाग देने पर x = 5 मिलता है। जाँच के लिए x = 5 को पहले समीकरण में रखने पर 40 + 3y = 46, इसलिए y = 2। दूसरे समीकरण में 25 − 6 = 19 भी सही आता है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D समीकरण 13x = 65 को संतुष्ट नहीं करते, इसलिए वे सही हल नहीं हो सकते।
The governing method is elimination. Both equations have the same coefficient, 13, for x, so subtract the first equation from the second to cancel x: (13x + 9y) − (13x − 6y) = 61 − 1. The x terms disappear and the y terms give 15y = 60. Dividing both sides by 15 yields y = 4, so option C is correct. For verification, place y = 4 in the first equation: 13x − 24 = 1, hence 13x = 25 and x = 25/13. In the second equation, 13(25/13) + 9(4) = 25 + 36 = 61, so the pair is consistent. The other choices would make the difference of the two left sides 30, 45, or 75 instead of 60.यहाँ समान गुणांक वाले x पदों को हटाने के लिए विलोपन विधि का प्रयोग किया जाता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक 13 है। दूसरे समीकरण में से पहला घटाने पर (13x + 9y) − (13x − 6y) = 61 − 1 प्राप्त होता है। x वाले पद कट जाते हैं और 15y = 60 मिलता है। 15 से भाग देने पर y = 4, इसलिए विकल्प C सही है। जाँच के लिए y = 4 को पहले समीकरण में रखने पर 13x − 24 = 1, अर्थात x = 25/13 मिलता है। दूसरे समीकरण में रखने पर 25 + 36 = 61 आता है, इसलिए हल सही है। y के अन्य विकल्पों से दोनों समीकरणों का अंतर 60 नहीं रहेगा।
Substitution is the most direct method because the first equation already expresses y in terms of x. Replace y in the second equation by 2x + 3: 5x - 2(2x + 3) = 1. Carefully distributing -2 gives 5x - 4x - 6 = 1, so x - 6 = 1 and x = 7. To verify, substitute x = 7 into the first equation: y = 2(7)+3 = 17. The second equation then becomes 5(7)-2(17)=35-34=1, exactly as required. Therefore option C is correct. The other choices can arise from a sign error while expanding -2(2x+3), but they fail the original system.यहाँ प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल है, क्योंकि पहली समीकरण में y पहले से x के रूप में दिया गया है। दूसरी समीकरण में y = 2x + 3 रखने पर 5x - 2(2x + 3) = 1 मिलता है। -2 को कोष्ठक के दोनों पदों पर वितरित करने से 5x - 4x - 6 = 1 प्राप्त होता है। इसलिए x - 6 = 1 और x = 7। जाँच के लिए पहली समीकरण में x = 7 रखने पर y = 2(7)+3 = 17। तब दूसरी समीकरण का बायाँ पक्ष 5(7)-2(17)=35-34=1 है, जो दाएँ पक्ष के बराबर है। अतः विकल्प C सही है। अन्य विकल्प प्रायः ऋण चिह्न या कोष्ठक खोलने की गलती से मिलते हैं, लेकिन वे मूल समीकरण-युग्म को संतुष्ट नहीं करते।
