A staircase has (180) tiles in the bottom row and (8) fewer tiles in each upper row. Which row will have (68) tiles?एक सीढ़ी में नीचे की पंक्ति में (180) टाइलें हैं और हर ऊपर की पंक्ति में (8) टाइलें कम हैं। किस पंक्ति में (68) टाइलें होंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (15)(15)
The direct answer is option C, row 15. This is a decreasing arithmetic progression because every upper row has 8 fewer tiles. The first row has 180 tiles, so \(a=180\), \(d=-8\), and the nth row is \(a_n=a+(n-1)d\). Put the required number 68 in the formula: \(68=180+(n-1)(-8)\). Therefore \(-112=-8(n-1)\), so \(14=n-1\), and \(n=15\). Option A, row 13, has \(180-12\times8=84\) tiles, not 68. Option B, row 14, has \(180-13\times8=76\) tiles. Option C, row 15, has \(180-14\times8=68\), so it is correct. Option D, row 16, has \(180-15\times8=60\) tiles. The negative common difference is important because the number decreases upward. Memory cue: in a decreasing AP, write the difference with a minus sign before solving.सीधा उत्तर विकल्प C, अर्थात् 15वीं पंक्ति है। नीचे से ऊपर जाने पर हर पंक्ति में 8 टाइलें कम होती हैं, इसलिए यह घटती हुई समानांतर श्रेणी है। पहला पद \(a=180\), अंतर \(d=-8\), और nth पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। 68 टाइलें रखने पर \(68=180+(n-1)(-8)\)। इसलिए \(-112=-8(n-1)\), फिर \(14=n-1\), अतः \(n=15\)। विकल्प A, 13वीं पंक्ति में \(180-12\times8=84\) टाइलें होंगी। विकल्प B, 14वीं में \(180-13\times8=76\) होंगी। विकल्प C, 15वीं में \(180-14\times8=68\) होंगी, इसलिए यही सही है। विकल्प D, 16वीं में \(60\) टाइलें होंगी। घटती श्रेणी में अंतर का चिन्ह ऋणात्मक रखना सबसे जरूरी है। याद रखें: हर कदम पर 8 घटे तो \(d=-8\) लिखें।
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