The first row of a hall has 36 seats and each next row has 6 more seats. If the total number of seats is 1566, how many rows are there?एक हॉल की पहली पंक्ति में 36 सीटें हैं और हर अगली पंक्ति में 6 सीटें अधिक हैं। यदि कुल सीटें 1566 हैं तो पंक्तियों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1818
The seat counts form an arithmetic progression with first term a = 36 and common difference d = 6. If there are n rows, the total is S_n = n/2[2a + (n − 1)d]. Substituting the data gives 1566 = n/2[72 + 6(n − 1)] = n/2(6n + 66) = 3n(n + 11). Therefore, n(n + 11) = 522. Testing the positive whole-number choices, n = 18 gives 18(18 + 11) = 18 × 29 = 522, so the number of rows is 18. Option D is correct. Direct verification gives the last row as 36 + 17×6 = 138; the average of the first and last rows is 87, and 87×18 = 1566. The other choices do not produce the stated total.सीटों की संख्याएँ समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जिसमें प्रथम पद a = 36 और सार्व अंतर d = 6 है। यदि पंक्तियों की संख्या n हो, तो कुल सीटों का सूत्र S_n = n/2[2a + (n − 1)d] होगा। मान रखने पर 1566 = n/2[72 + 6(n − 1)] = n/2(6n + 66) = 3n(n + 11) मिलता है। इसलिए n(n + 11) = 522। दिए गए पूर्णांक विकल्पों में n = 18 रखने पर 18(18 + 11) = 18 × 29 = 522 प्राप्त होता है। अतः कुल 18 पंक्तियाँ हैं और विकल्प D सही है। प्रत्यक्ष जाँच में अंतिम पंक्ति की सीटें 36 + 17×6 = 138 होंगी। प्रथम और अंतिम पंक्ति का औसत 87 है तथा 87×18 = 1566 आता है। अन्य विकल्पों से यह कुल प्राप्त नहीं होता।
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