In an auditorium the first row has (30) seats and each next row has (5) more seats. If the total number of seats is (1080), how many rows are there?एक सभागार में पहली पंक्ति में (30) सीटें हैं और हर अगली पंक्ति में (5) सीटें अधिक हैं। यदि कुल सीटें (1080) हैं तो पंक्तियों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (16)(16)
The direct answer is C, 16 rows. The row sizes form an arithmetic progression: first term \\(a=30\\), common difference \\(d=5\\), and total \\(S_n=1080\\). Use \\(S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]\\): \\(1080=\frac n2[60+5(n-1)] =\frac n2(5n+55)\\). Thus \\(2160=5n^2+55n\\), or \\(n^2+11n-432=0\\). Factoring gives \\((n-16)(n+27)=0\\), so \\(n=16\\) or \\(n=-27\\). A number of rows cannot be negative, hence 16. Option C is correct. Option A, 14, gives a smaller total; option B, 15, also does not reach 1080; option D, 18, gives a larger total. Always reject a negative mathematical root in a counting problem. Exam cue: after solving, substitute the positive integer back into the sum formula.सीधा उत्तर C, 16 पंक्तियाँ है। पंक्तियों में सीटों की संख्या समान्तर श्रेणी बनाती है: पहला पद \\(a=30\\), समान अंतर \\(d=5\\), और कुल योग \\(S_n=1080\\)। योग का सूत्र है \\(S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]\\)। इसलिए \\(1080=\frac n2[60+5(n-1)] =\frac n2(5n+55)\\)। दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर \\(2160=5n^2+55n\\), अर्थात \\(n^2+11n-432=0\\)। गुणनखंड करने पर \\((n-16)(n+27)=0\\), इसलिए \\(n=16\\) या \\(n=-27\\)। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए 16 सही है। विकल्प A, 14, और विकल्प B, 15, से कुल सीटें 1080 नहीं बनतीं। विकल्प D, 18, लेने पर कुल सीटें 1080 से अधिक हो जाएँगी। गिनती वाले प्रश्न में ऋणात्मक मूल हमेशा अस्वीकार करें। परीक्षा संकेत: उत्तर मिलने के बाद उसे योग सूत्र में रखकर जाँच लें।
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