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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from Arithmetic Progressions (AP), students learn what an arithmetic progression is and how to recognize its pattern. They explore the first term, the common difference, and the role of a constant change between consecutive terms. The topic also develops skills for writing the general form of an AP, finding missing terms, and deciding whether a given sequence follows an arithmetic pattern through examples and simple reasoning.
Expert · Level 6 · 8 questions
TOPIC PRACTICE
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Each next term adds (4), so the common difference is (4). In exams, a variable constant part does not change the difference.हर अगले पद में (4) जुड़ता है, इसलिए सामान्य अंतर (4) है। परीक्षा में चर वाला स्थिर भाग अंतर को नहीं बदलता।
The terms are (0,0,2,6,\ldots), and the differences (0,2,4,\ldots) change. In exams, expand the product or test initial terms.पद (0,0,2,6,\ldots) हैं और अंतर (0,2,4,\ldots) बदलते हैं। परीक्षा में गुणन रूप को फैलाकर या पहले पदों से जांचें।
Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें।
The direct answer is option C,
\(t(b-a)\). Since
\((a,b,c)\) is an AP, its common difference is
\(b-a"); equivalently,
\(c-b=b-a\). After multiplying every term by
\(t"), the new terms are
\(ta,tb,tc"). Their consecutive difference is
\(tb-ta=t(b-a)"). The next difference is
\(tc-tb=t(c-b)=t(b-a)"), so the result is consistent. Option A,
\(b-a"), is the old difference and misses the scaling by t. Option B,
\(t"), is only the multiplier, not generally the new difference. Option C is correct. Option D,
\(a+t"), adds t to one term and does not describe multiplying all terms. If t is negative, the formula still works and reverses the direction as appropriate. Exam cue: multiplying all AP terms by t multiplies d by t.सीधा उत्तर विकल्प C,
\(t(b-a)\), है। क्योंकि
\((a,b,c)\) AP में हैं, उसका सामान्य अंतर
\(b-a\) है और
\(c-b=b-a\) भी होगा। हर पद को
\(t\) से गुणा करने पर नए पद
\(ta,tb,tc\) बनते हैं। नए क्रमागत पदों का अंतर
\(tb-ta=t(b-a)\) है। अगला अंतर
\(tc-tb=t(c-b)=t(b-a)\) भी वही आता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A,
\(b-a\), पुराना सामान्य अंतर है और उसमें
\(t\) का गुणन छूट गया है। विकल्प B,
\(t\), केवल गुणक है; सामान्यतः वही नया अंतर नहीं होता। विकल्प D,
\(a+t\), जोड़ने की क्रिया बताता है, जबकि प्रश्न में हर पद का गुणन किया गया है। t ऋणात्मक हो तब भी यही सूत्र सही रहता है। याद रखें: सभी पदों को t से गुणा करने पर d भी t गुना होता है।
In an AP, the difference between two terms equals the difference of their indices multiplied by the common difference. Thus, \(a_6-a_3=(6-3)d\). Hence \(25-4=3d\), so \(21=3d\) and \(d=7\). Option 21 is the difference between the given terms, not the common difference. Exam tip: when subtracting two given terms, also use the difference between their subscripts.समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर और सामान्य अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(a_6-a_3=(6-3)d\)। इसलिए \(25-4=3d\), अर्थात \(21=3d\) और \(d=7\)। विकल्प 21 पदों का अंतर है, सामान्य अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों को घटाते समय उनके उपसूचकों का अंतर अवश्य लें।
Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.हर पद पिछले से (2.5) कम है, इसलिए (d=-2.5)। परीक्षा में घटते दशमलव अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह न भूलें।
(a_5-a_2=3d=15), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.(a_5-a_2=3d=15), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है।
There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so (d=\frac{19-3}{4}=4). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.पहले और पांचवें पद के बीच (4) बराबर अंतराल हैं, इसलिए (d=\frac{19-3}{4}=4)। परीक्षा में दूर दिए गए पदों के बीच कुल अंतर को अंतरालों की संख्या से भाग दें।
