In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
Step 2
Why this answer is correct
\(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। चरण 2: \(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (10-23=-13) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 41 जोड़ें, जिससे 28 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (5a+4b), the remainder part is \(5\times11+4\times16=119\).
Step 2
Why this answer is correct
\(119=19\times6+5\), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (5a+4b) में शेषफल \(5\times11+4\times16=119\) होगा। चरण 2: \(119=19\times6+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (8-19=-11) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 35 जोड़ें, जिससे 24 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (4a+3b), the remainder part is \(4\times9+3\times13=75\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=17\times4+7\), so the remainder is 7.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (4a+3b) में शेषफल \(4\times9+3\times13=75\) होगा। चरण 2: \(75=17\times4+7\), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (5-14=-9) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 27 जोड़ें, जिससे 18 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (3a+b), the remainder part is \(3\times6+8=26\).
Step 2
Why this answer is correct
\(26=11\times2+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (3a+b) में शेषफल \(3\times6+8=26\) होगा। चरण 2: \(26=11\times2+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (3-9=-6) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 16 जोड़ें, जिससे 10 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ें।
In (2a+b), the remainder part is \(2\times4+7=15\).
Step 2
Why this answer is correct
(15=9+6), so the remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
In such questions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (2a+b) में शेषफल \(2\times4+7=15\) होगा। चरण 2: (15=9+6), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (9-10=-1) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 14 जोड़ें, जिससे 13 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ना चाहिए।
After subtracting (4), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (21), (28), and (36) is (252), so the number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
In common-remainder questions, find the LCM first. चरण 1: संख्या से (4) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: (21), (28), (36) का लघुत्तम समापवर्त्य (252) है, इसलिए संख्या (252+4=256) होगी। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
Subtracting (4) makes the number divisible by (21), (28), and (36).
Step 2
Why this answer is correct
\(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times7=252\). Hence the smallest number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (4) घटाने पर वह (21), (28) और (36) से विभाजित होगी। चरण 2: \(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times7=252\) है। अतः सबसे छोटी संख्या (252+4=256) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ना न भूलें।
Remainder (0) means the number is divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), and \(112=2^4\times7\), so LCM \(=2^4\times3\times5\times7=1680\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, use LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), \(112=2^4\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5\times7=1680\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
(93+1=94), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 93 है। चरण 2: 283 को 94 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (93+1=94), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
(73+1=74), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 73 है। चरण 2: 223 को 74 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (73+1=74), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
(57+1=58), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 57 है। चरण 2: 175 को 58 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (57+1=58), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
(85) leaves remainder 1 on division by 42, so total remainder (41+1=42), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
When adding a large number, first find its smaller remainder. चरण 1: मूल शेषफल 41 है। चरण 2: 85 को 42 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (41+1=42), जो 0 बनता है। चरण 3: बड़ी संख्या जोड़ने पर पहले उसका छोटा शेषफल निकालें।
61 leaves remainder 1 when divided by 30, so total remainder (29+1=30), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
It is useful to reduce a large added number to a smaller remainder first. चरण 1: मूल शेषफल 29 है। चरण 2: 61 का 30 से शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (29+1=30), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलना उपयोगी है।
For twice the number, the remainder part is \(2\times24=48\), and (48=25+23).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below 25. चरण 1: संख्या (25q+24) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या में शेषफल \(2\times24=48\) होगा, और (48=25+23)। चरण 3: गुणा के बाद शेषफल को 25 से छोटा करना जरूरी है।
Twice the number is (22q+16=11(2q+1)+5), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
The final remainder must always be less than 11. चरण 1: संख्या (11q+8) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या (22q+16=11(2q+1)+5), इसलिए शेषफल 5 होगा। चरण 3: अंतिम शेषफल हमेशा 11 से छोटा होना चाहिए।
The next number is (16q+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In consecutive numbers, remainders move in order like (0,1,2). चरण 1: संख्या (16q) के रूप में है। चरण 2: अगली संख्या (16q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से (0,1,2) की तरह आगे बढ़ते हैं।
After the greatest remainder, the next number has remainder (0). चरण 1: संख्या को (16q+15) लिखा जा सकता है। चरण 2: अगली संख्या (16q+16=16(q+1)+0) होगी। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल (0) हो जाता है।
Here the divisor is (13) and the remainder is (8), so the form is (13q+8).
Step 3
Exam Tip
In a general form, place the divisor with (q) and the remainder at the end. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (13) और शेषफल (8) है, इसलिए रूप (13q+8) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) के साथ और शेषफल को अंत में रखें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is (6q+0), that is (6q).
Step 3
Exam Tip
Forms with zero remainder help identify multiples. चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (6) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+0), अर्थात (6q) के रूप में होगी। चरण 3: शून्य शेषफल वाले रूप गुणज पहचानने में सहायक होते हैं।
A. (3) से पूर्णतः विभाज्य/Exactly divisible by (3)
Step 1
Concept
The original number is (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) gives (3q+3=3(q+1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the new number is exactly divisible by (3). चरण 1: मूल संख्या (3q+2) है। चरण 2: (1) जोड़ने पर (3q+3=3(q+1)) बनती है। चरण 3: इसलिए नई संख्या (3) से पूर्णतः विभाज्य होगी।
This is exactly divisible by (5), so the remainder is (0). चरण 1: मूल संख्या (5q+3) के रूप में होगी। चरण 2: (2) जोड़ने पर (5q+5=5(q+1)) बनेगा। चरण 3: यह (5) से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए शेषफल (0) होगा।
C. आकार, झुकाव और नसों की दिशा में सूक्ष्म अंतर देना/Giving subtle difference in size, tilt, and vein direction
Step 1
Concept
Small variation gives believability in nature. Exam tip: avoid sameness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. आकार, झुकाव और नसों की दिशा में सूक्ष्म अंतर देना / Giving subtle difference in size, tilt, and vein direction. Small variation gives believability in nature. Exam tip: avoid sameness.
Step 3
Exam Tip
प्रकृति में हल्की विविधता विश्वसनीयता देती है। परीक्षा में समानता से बचें।
A. पत्तियाँ गिरने पर अपशिष्ट बाहर हो जाते हैं/Wastes are removed when leaves fall
Step 1
Concept
Plants do not have separate excretory organs.
Step 2
Why this answer is correct
They can store some wastes in leaves or bark.
Step 3
Exam Tip
When old leaves fall, these wastes leave the plant. चरण 1: पौधों में अलग उत्सर्जी अंग नहीं होते। चरण 2: वे कुछ अपशिष्टों को पत्तियों या छाल में जमा कर सकते हैं। चरण 3: पुरानी पत्तियाँ गिरने पर ये अपशिष्ट पौधे से बाहर हो जाते हैं।
A. इन भागों के गिरने पर अपशिष्ट भी हट जाते हैं/When these parts fall wastes are removed too
Step 1
Concept
Plants do not have excretory organs like animals.
Step 2
Why this answer is correct
They can store some wastes in old parts.
Step 3
Exam Tip
When leaves or bark fall those wastes are removed. चरण 1: पौधों में जंतुओं जैसे उत्सर्जी अंग नहीं होते। चरण 2: वे कुछ अपशिष्ट पुराने भागों में जमा कर सकते हैं। चरण 3: पत्तियों या छाल के गिरने से वे अपशिष्ट बाहर हो जाते हैं।
Carbon dioxide enters and oxygen leaves through these pores.
Step 3
Exam Tip
These pores are called stomata. चरण 1: पत्तियों की सतह पर छोटे छिद्र पाए जाते हैं। चरण 2: इन्हीं छिद्रों से कार्बन डाइऑक्साइड अंदर और ऑक्सीजन बाहर जाती है। चरण 3: ऐसे छिद्रों को रंध्र कहा जाता है।
Oak leaves were linked with strength in German tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Their use in the crown showed the heroism of the nation.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak leaves with heroism and strength. चरण 1: बलूत के पत्ते जर्मन परंपरा में शक्ति से जुड़े थे। चरण 2: मुकुट में उनका उपयोग राष्ट्र की वीरता दिखाने के लिए हुआ। चरण 3: परीक्षा में बलूत को वीरता और शक्ति से जोड़ें।
Oak leaves were linked with strength and heroism in German tradition.
Step 2
Why this answer is correct
In Germania's crown these qualities were attached to the nation.
Step 3
Exam Tip
For exams remember oak as strength and heroism. चरण 1: बलूत के पत्ते जर्मन परंपरा में शक्ति और वीरता से जुड़े थे। चरण 2: जर्मेनिया के मुकुट में ये गुण राष्ट्र से जोड़े गए। चरण 3: परीक्षा में बलूत को वीरता और शक्ति का प्रतीक मानें।
A. वीरता और सांस्कृतिक पहचान/Heroism and cultural identity
Step 1
Concept
The oak was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Its leaves suggested heroism and cultural pride.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak leaves with Germania's identity. चरण 1: बलूत जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: उसके पत्तों से वीरता और सांस्कृतिक गौरव का भाव आता था। चरण 3: परीक्षा में बलूत पत्तों को जर्मानिया की पहचान से जोड़ें।
C. बलूत पत्ते और जर्मन वीरता/Oak leaves and German heroism
Step 1
Concept
The oak was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Oak leaves carried the meaning of heroism.
Step 3
Exam Tip
In exams connect Germania's crown with German identity. चरण 1: बलूत जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: बलूत पत्ते वीरता का अर्थ देते थे। चरण 3: परीक्षा में जर्मानिया के मुकुट को जर्मन पहचान से जोड़ें।
A. वीरता और राष्ट्रीय दृढ़ता/Heroism and national firmness
Step 1
Concept
Oak leaves were linked with heroism in German tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Their use in Germania's crown gave the nation a heroic form.
Step 3
Exam Tip
This shows that culture also becomes part of nationalist symbols. चरण 1: बलूत के पत्ते जर्मन परंपरा में वीरता से जुड़े थे। चरण 2: जर्मानिया के मुकुट में उनका प्रयोग राष्ट्र को वीर रूप देता था। चरण 3: यह दिखाता है कि संस्कृति भी राष्ट्रवादी प्रतीकों में शामिल होती है।
A. जर्मन वीरता और सांस्कृतिक पहचान/German heroism and cultural identity
Step 1
Concept
The oak was a symbol linked with German tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Its leaves indicated heroism.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak leaves with Germania and German heroism. चरण 1: बलूत जर्मन परंपरा से जुड़ा प्रतीक था। चरण 2: उसके पत्ते वीरता का संकेत देते थे। चरण 3: परीक्षा में बलूत पत्तों को जर्मानिया और जर्मन वीरता से जोड़ें।
A. वीरता और मजबूती की भावना/Feeling of heroism and strength
Step 1
Concept
In German tradition the oak was linked with heroism.
Step 2
Why this answer is correct
Its crown on Germania's head showed the strength of the nation.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a key symbol of German nationalism. चरण 1: जर्मन परंपरा में बलूत वीरता से जुड़ा था। चरण 2: जर्मानिया के सिर पर उसका मुकुट राष्ट्र की शक्ति दिखाता था। चरण 3: इसे जर्मन राष्ट्रवाद के प्रमुख प्रतीक के रूप में याद करें।
C. यह जर्मन वीरता और पहचान से जुड़ा था/It was linked with German heroism and identity
Step 1
Concept
The oak tree was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Its leaves represented heroism.
Step 3
Exam Tip
In exams connect Germania's crown with German heroism. चरण 1: बलूत का पेड़ जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: उसके पत्ते वीरता का अर्थ देते थे। चरण 3: परीक्षा में जर्मानिया के मुकुट को जर्मन वीरता से जोड़ें।
In German tradition the oak was linked with heroism.
Step 2
Why this answer is correct
Its crown on Germania showed the strength of the nation.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a German national symbol. चरण 1: जर्मन परंपरा में बलूत वीरता से जुड़ा था। चरण 2: जर्मानिया के सिर पर इसका मुकुट राष्ट्र की शक्ति दिखाता था। चरण 3: इसे जर्मन राष्ट्रीय प्रतीक के रूप में याद रखें।
The oak tree was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
Oak leaves were shown in Germania's crown for this reason.
Step 3
Exam Tip
In exams remember oak with Germany. चरण 1: बलूत का पेड़ जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: जर्मानिया के मुकुट में बलूत पत्ते इसी कारण दिखाए गए। चरण 3: परीक्षा में बलूत को जर्मनी से जोड़कर याद रखें।
In German tradition the oak was linked with heroism.
Step 2
Why this answer is correct
Oak leaves in Germania's crown showed the same meaning.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak leaves with heroism. चरण 1: जर्मन परंपरा में बलूत को वीरता से जोड़ा गया। चरण 2: जर्मानिया के मुकुट में ये पत्ते उसी अर्थ को दिखाते थे। चरण 3: परीक्षा में बलूत पत्तों को वीरता से जोड़ें।
Identify clue words and choose the answer. चरण 1: ओक पत्तों का मुकुट जर्मेनिया से जुड़ा है। चरण 2: जर्मेनिया जर्मन राष्ट्र की प्रतीक थी। चरण 3: संकेत शब्दों को पहचानकर उत्तर चुनें।
Germania was the symbolic figure of the German nation.
Step 2
Why this answer is correct
The crown of oak leaves represented heroism.
Step 3
Exam Tip
Meanings of symbols are often asked directly. चरण 1: जर्मेनिया जर्मन राष्ट्र की प्रतीक आकृति थी। चरण 2: ओक पत्तों का मुकुट वीरता से जोड़ा गया। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ सीधे प्रश्नों में पूछे जा सकते हैं।
Germania was the symbolic female image of the German nation.
Step 2
Why this answer is correct
The crown of oak leaves was considered a sign of heroism and strength.
Step 3
Exam Tip
In exams, connect Germania with Germany and oak leaves with heroism. चरण 1: जर्मानिया जर्मन राष्ट्र की प्रतीकात्मक महिला छवि थी। चरण 2: बलूत के पत्तों का मुकुट वीरता और मजबूती का संकेत माना जाता था। चरण 3: परीक्षा में जर्मानिया को जर्मनी और बलूत के पत्तों को वीरता से जोड़कर याद रखें।
The oak tree was linked with German symbolic tradition.
Step 2
Why this answer is correct
So its leaves were shown in Germania's crown.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak with Germany. चरण 1: बलूत का पेड़ जर्मन प्रतीक परंपरा से जुड़ा था। चरण 2: इसलिए जर्मानिया के मुकुट में उसके पत्ते दिखाए गए। चरण 3: परीक्षा में बलूत को जर्मनी से जोड़ें।
Therefore oak leaves were shown in Germania's crown.
Step 3
Exam Tip
In exams connect oak leaves with heroism. चरण 1: जर्मन बलूत को वीरता से जोड़ा गया। चरण 2: इसलिए जर्मानिया के मुकुट में बलूत पत्ते दिखाए गए। चरण 3: परीक्षा में बलूत पत्तों को वीरता से जोड़ें।
Oak leaves were linked with heroism in German tradition.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a symbol of German nationalism. चरण 1: जर्मानिया के साथ अलग अलग प्रतीक जोड़े गए। चरण 2: बलूत के पत्ते जर्मन परंपरा में वीरता से जुड़े थे। चरण 3: इसे जर्मन राष्ट्रवाद के प्रतीक के रूप में याद रखें।
In each case, divisor minus remainder is (9), so adding (9) to the number makes it exactly divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (72), (90), and (126) is (2520), so the number is (2520-9=2511).
Step 3
Exam Tip
When each remainder is equally less than the divisor, subtract that common difference from the LCM. चरण 1: हर बार भाजक और शेष का अंतर (9) है, इसलिए संख्या में (9) जोड़ने पर वह तीनों भाजकों से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: (72), (90) और (126) का लघुत्तम समापवर्त्य (2520) है, इसलिए संख्या (2520-9=2511) होगी। चरण 3: जब शेष भाजक से समान अंतर पर हो, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(315=3^2\times5\times7\), so the LCM is (9450).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, find the LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), \(315=3^2\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9450) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
Subtracting (17) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), and \(96=2^5\times3\), so the LCM is (960). Hence the number is (960+17=977).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (17) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), \(96=2^5\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (960) है। अतः संख्या (960+17=977) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ें।
In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (45), (75), and (90) is (450), so the number is (450-7=443).
Step 3
Exam Tip
Spot the common difference and subtract it from the LCM. चरण 1: हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। चरण 2: (45), (75) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (450) है, इसलिए संख्या (450-7=443) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), and \(280=2^3\times5\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times5\times7=840\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, find the LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), \(280=2^3\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5\times7=840\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
Subtracting (15) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), and \(88=2^3\times11\), so LCM \(=2^3\times5\times7\times11=3080\). Hence the number is (3080+15=3095).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (15) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), \(88=2^3\times11\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times5\times7\times11=3080\) है। अतः संख्या (3080+15=3095) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ें।
In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (36), (54), and (90) is (540), so the number is (540-7=533).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the common difference and subtract it from the LCM. चरण 1: हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: (36), (54) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (540) है, इसलिए संख्या (540-7=533) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ।
In each case, the difference between divisor and remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by (48), (72), and (120).
Step 2
Why this answer is correct
Their LCM is (720), so the smallest number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
In such questions, spotting the common difference makes the calculation much easier. चरण 1: हर स्थिति में भाजक और शेष का अंतर (5) है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह (48), (72) और (120) से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: इनका लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (720-5=715) होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानना गणना को बहुत आसान बना देता है।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(216=2^3\times3^3\), so LCM \(=2^4\times3^3\times5=2160\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, find the LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(216=2^3\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5=2160\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
In each case, divisor minus remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (36), (48), and (60) is (720), so the number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
When remainders are equally less than divisors, subtract that difference from the LCM. चरण 1: हर स्थिति में भाजक से शेष घटाने पर (5) बचता है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। चरण 2: (36), (48) और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए संख्या (720-5=715) है। चरण 3: जब शेष भाजक से समान अंतर पर हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ।
After subtracting (11), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2=288\). Hence the number is (288+11=299).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या से (11) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। अतः संख्या (288+11=299) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ें।
Subtracting (3) makes the number divisible by (16), (20), and (25).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), and \(25=5^2\), so LCM \(=2^4\times5^2=400\). Hence the number is (400+3=403).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (3) घटाने पर वह (16), (20) और (25) से विभाजित होगी। चरण 2: \(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), \(25=5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times5^2=400\) है। अतः संख्या (400+3=403) है। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें।
For fifteen times the number, the remainder part is \(15\times14=210\).
Step 2
Why this answer is correct
\(210=57\times3+39\), so the final remainder is 39.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: पंद्रह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(15\times14=210\) होगा। चरण 2: \(210=57\times3+39\), इसलिए अंतिम शेषफल 39 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times15=195\).
Step 2
Why this answer is correct
\(195=73\times2+49\), so the final remainder is 49.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times15=195\) होगा। चरण 2: \(195=73\times2+49\), इसलिए अंतिम शेषफल 49 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times58=522\).
Step 2
Why this answer is correct
\(522=59\times8+50\), so the remainder is 50.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times58=522\) होगा। चरण 2: \(522=59\times8+50\), इसलिए शेषफल 50 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times11=143\).
Step 2
Why this answer is correct
\(143=45\times3+8\), so the final remainder is 8.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times11=143\) होगा। चरण 2: \(143=45\times3+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), and \(11^2\) all leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
Checking the squares of possible remainders separately is a safe method. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), और \(11^2\) सभी को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों के वर्गों को अलग-अलग जांचना सुरक्षित तरीका है।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times12=132\).
Step 2
Why this answer is correct
\(132=61\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times12=132\) होगा। चरण 2: \(132=61\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times46=322\).
Step 2
Why this answer is correct
\(322=47\times6+40\), so the remainder should be 40.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times46=322\) होगा। चरण 2: \(322=47\times6+40\), इसलिए शेषफल 40 होना चाहिए। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times8=88\).
Step 2
Why this answer is correct
\(88=39\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times8=88\) होगा। चरण 2: \(88=39\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\) and \(9^2\) leave remainder 1, while \(3^2\) and \(7^2\) leave remainder 9.
Step 3
Exam Tip
When listing possible remainders, count repeated results only once. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(9^2\) का शेषफल 1 है, जबकि \(3^2\) और \(7^2\) का शेषफल 9 है। चरण 3: संभावित शेषफल सूची बनाते समय दोहराव को एक बार ही गिनें।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times9=81\).
Step 2
Why this answer is correct
(81=52+29), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times9=81\) होगा। चरण 2: (81=52+29), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
For five times the number, the remainder part is \(5\times33=165\).
Step 2
Why this answer is correct
\(165=34\times4+29\), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: पांच गुनी संख्या के लिए शेषफल \(5\times33=165\) होगा। चरण 2: \(165=34\times4+29\), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
For eight times the number, the remainder part is \(8\times5=40\).
Step 2
Why this answer is correct
(40=27+13), so the final remainder is 13.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result below the divisor. चरण 1: आठ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(8\times5=40\) होगा। चरण 2: (40=27+13), इसलिए अंतिम शेषफल 13 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को भाजक से छोटा करें।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).
Step 2
Why this answer is correct
(42=32+10), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result again by the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। चरण 2: (42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं।
For three times the number, the remainder part is \(3\times27=81\).
Step 2
Why this answer is correct
\(81=28\times2+25\), so the final remainder is 25.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: तिगुनी संख्या के लिए शेषफल \(3\times27=81\) होगा। चरण 2: \(81=28\times2+25\), इसलिए अंतिम शेषफल 25 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले शेषफल को भाजक से छोटा करना जरूरी है।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times4=28\).
Step 2
Why this answer is correct
(28=22+6), so the final remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
If the result after multiplication is greater than the divisor, reduce it. चरण 1: सात गुना संख्या के लिए शेषफल \(7\times4=28\) होगा। चरण 2: (28=22+6), इसलिए अंतिम शेषफल 6 है। चरण 3: गुणा के बाद मिला परिणाम भाजक से बड़ा हो तो उसे घटाएं।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
Squares of many numbers coprime to 6 show remainder 1, but checking is always better. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों में शेषफल 1 है। चरण 3: 6 से सहअभाज्य कई संख्याओं के वर्गों में शेषफल 1 दिखता है, पर हमेशा जांच करना अच्छा है।
For five times the number, the remainder is \(5\times3=15\), which is less than 20.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the remainder and check the limit. चरण 1: संख्या को (20q+3) मानें। चरण 2: पांच गुनी संख्या में शेषफल \(5\times3=15\) होगा, जो 20 से छोटा है। चरण 3: गुणा में शेषफल को ही गुणा करें और सीमा जांचें।
Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
You may add the given number directly, then find the final remainder. चरण 1: संख्या (12q+7) है। चरण 2: 29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
For three times the number, the remainder part is \(3\times12=36\), and \(36=13\times2+10\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: संख्या (13q+12) है। चरण 2: तिगुनी संख्या में शेषफल \(3\times12=36\) होगा, और \(36=13\times2+10\)। चरण 3: गुणन के बाद शेषफल को फिर से भाजक से कम करें।
Adding 11 gives (8q+16=8(q+2)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Reduce the added number by the divisor and combine remainders. चरण 1: संख्या (8q+5) है। चरण 2: 11 जोड़ने पर (8q+16=8(q+2)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को भी भाजक से भाग देकर शेषफल के साथ मिलाएं।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
A number exactly divisible by (2) is even.
Step 3
Exam Tip
The general form of an even number is (2q). चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: (2) से पूरी तरह विभाजित संख्या सम होती है। चरण 3: सम संख्या का सामान्य रूप (2q) होता है।
Remainder (1) on division by (2) means the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
A number of the form (2q+1) is odd.
Step 3
Exam Tip
To identify an odd number, focus on remainder (1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) का अर्थ है संख्या (2q+1) के रूप में है। चरण 2: (2q+1) रूप वाली संख्या विषम होती है। चरण 3: विषम संख्या पहचानने के लिए शेषफल (1) पर ध्यान दें।
If the divisor is (3) and the remainder is (1), the form is (3q+1).
Step 3
Exam Tip
The small term at the end of the form shows the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो रूप (3q+1) होगा। चरण 3: रूप में अंत का छोटा पद शेषफल बताता है।
Here the divisor is (6) and the remainder is (4), so the form is (6q+4).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the divisor and remainder directly. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार (a=bq+r) होता है। चरण 2: यहां भाजक (6) और शेषफल (4) है, इसलिए रूप (6q+4) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में भाजक और शेषफल को सीधे पहचानें।
The divisor is (7), so (7q) represents a multiple of it.
Step 2
Why this answer is correct
Adding remainder (6) gives (7q+6).
Step 3
Exam Tip
In such questions, put the divisor in the multiple part. चरण 1: भाजक (7) है, इसलिए (7q) उसका गुणज होगा। चरण 2: शेषफल (6) जोड़ने पर संख्या (7q+6) बनेगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में भाजक को गुणज वाले भाग में रखें।
In such forms, (q) can be an integer. चरण 1: (a=bq+r) में (b=4) और (r=1) रखें। चरण 2: इससे (a=4q+1) मिलेगा। चरण 3: ऐसे रूपों में (q) कोई पूर्णांक हो सकता है।
Add the remainder in the correct form instead of subtracting it. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: (b=7) और (r=2) रखने पर (a=7q+2) मिलता है। चरण 3: शेषफल को घटाने की जगह सही रूप में जोड़ें।
The remainder is added and remains less than the divisor. चरण 1: प्रमेयिका के अनुसार (a=bq+r) होता है। चरण 2: (b=12) और (r=5) रखने पर (a=12q+5) मिलता है। चरण 3: शेषफल हमेशा जोड़ा जाता है और भाजक से छोटा रहता है।
In such questions, place the divisor and remainder directly in the form. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) लगाएं। चरण 2: यहां (b=10) और (r=7), इसलिए संख्या (10q+7) होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में भाजक और शेषफल सीधे रूप में रखें।
Subtract (16) from each number to get (720), (1120), and (1520).
Step 2
Why this answer is correct
The HCF of these three numbers is (80), so the greatest number is (80).
Step 3
Exam Tip
In fixed-remainder questions, subtract the remainder first and then find the HCF. चरण 1: हर संख्या से (16) घटाएँ, ताकि (720), (1120) और (1520) मिलें। चरण 2: इन तीनों का महत्तम समापवर्तक (80) है, इसलिए सबसे बड़ी संख्या (80) होगी। चरण 3: निश्चित शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाकर महत्तम समापवर्तक निकालें।
For the same remainder, take the HCF of the differences.
Step 2
Why this answer is correct
The differences are (276), (432), and (708); their HCF is (12).
Step 3
Exam Tip
Use the differences, not the original numbers directly. चरण 1: समान शेष के लिए संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। चरण 2: अंतर (1018-742=276), (1450-1018=432) और (1450-742=708) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (12) है। चरण 3: मूल संख्याओं का नहीं, उनके अंतरों का महत्तम समापवर्तक लें।
For the same remainder, take the HCF of the differences of the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The differences are (165), (255), and (420); their HCF is (15).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder divisor questions, work with differences. चरण 1: समान शेष के लिए दी गई संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। चरण 2: अंतर (654-489=165), (909-654=255) और (909-489=420) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (15) है। चरण 3: समान शेष वाले बड़े भाजक के प्रश्न में मूल संख्याओं के अंतरों पर काम करें।
Subtracting (13) makes the number divisible by (42), (56), and (70).
Step 2
Why this answer is correct
Their LCM is (280), so the smallest number is (280+13=293).
Step 3
Exam Tip
In common-remainder questions, add the remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (13) घटाने पर वह (42), (56) और (70) से विभाजित होगी। चरण 2: इनका लघुत्तम समापवर्त्य (280) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (280+13=293) है। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में शेष को अंत में जोड़ें।
Subtracting (9) makes the number divisible by (28), (42), and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), and \(56=2^3\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times7=168\). Hence the number is (168+9=177).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (9) घटाने पर वह (28), (42) और (56) से विभाजित होगी। चरण 2: \(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), \(56=2^3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times7=168\) है। अतः संख्या (168+9=177) होगी। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें।
Subtracting (7) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\). Hence the number is (1080+7=1087).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (7) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: \(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। अतः संख्या (1080+7=1087) है। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible value is always the LCM. चरण 1: शेष (0) का मतलब संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। चरण 3: सबसे छोटा संभव मान हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य होगा।
If the remainder is (5), then subtracting (5) makes the number divisible by (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
Their LCM is (360), so the smallest number is (360+5=365).
Step 3
Exam Tip
For common remainder questions, subtract the remainder first. चरण 1: यदि शेष (5) है, तो संख्या से (5) घटाने पर वह (18), (24) और (30) से विभाजित होगी। चरण 2: इनका लघुत्तम समापवर्त्य (360) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (360+5=365) होगी। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाएँ।
Remainder (0) means the number is divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(75=3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest such number, use LCM. चरण 1: हर बार शेष (0) का अर्थ है कि संख्या सभी दी गई संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(75=3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The smallest such number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), and \(72=2^3\times 3^2\). The LCM is \(2^3\times 3^3\times 5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Remainder (0) means exact divisibility by all numbers. चरण 1: सबसे छोटी ऐसी संख्या इन तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), और \(72=2^3\times 3^2\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^3\times 5=1080\) है। चरण 3: शेषफल (0) का अर्थ है संख्या सभी से पूरी तरह विभाजित हो।
Subtract the remainder (5) from each number to get (132), (180), and (252).
Step 2
Why this answer is correct
Find their HCF. \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), so the common part is \(2^2\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder problems, subtract the remainder first. चरण 1: शेषफल (5) हटाने पर संख्याएँ (132), (180), और (252) मिलती हैं। चरण 2: इनका महत्तम समापवर्तक निकालें। \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), इसलिए समान भाग \(2^2\times 3=12\) है। चरण 3: समान शेषफल वाले प्रश्न में पहले शेषफल घटाएँ।
