The next common signal time is the LCM of all intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), \(63=3^2\times7\), and \(84=2^2\times3\times7\), so the LCM is (252).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time questions. चरण 1: साथ में दोबारा संकेत देने का समय सभी अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), \(63=3^2\times7\), \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (252) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(60=2^2\times3\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
For repeated-time questions, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(84=2^2\times3\times7\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5\times7=1260\).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time questions. चरण 1: साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5\times7=1260\) है। चरण 3: समय के दोहराव वाले प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य उपयोग करें।
The next common signal time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), and \(40=2^3\times5\), so LCM \(=2^4\times3\times5=240\).
Step 3
Exam Tip
For repeated-time questions, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा संकेत देने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), \(40=2^3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5=240\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The next common flashing time is the LCM of all intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^3=108\).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time situations. चरण 1: साथ में दोबारा होने वाला समय सभी अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3=108\) है। चरण 3: समय के दोहराव में लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग करें।
The time after which all ring together is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(20=2^2\times5\), \(28=2^2\times7\), and \(35=5\times7\), so LCM \(=2^2\times5\times7=140\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time events, use LCM. चरण 1: साथ में फिर बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(20=2^2\times5\), \(28=2^2\times7\), \(35=5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times5\times7=140\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), and \(30=2\times3\times5\), so LCM \(=2^3\times3^2\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time events, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), \(30=2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^2\times5=360\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The time when they ring together again is the LCM of (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\). The LCM is \(2^3\times 3^2\times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time meeting problems. चरण 1: साथ दोबारा बजने का समय (18), (24), और (30) का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^2\times 5=360\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लगाएँ।
The common sound time is the LCM of (6), (9), and (15).
Step 2
Why this answer is correct
\(6=2\times3\), \(9=3^2\), and \(15=3\times5\).
Step 3
Exam Tip
\(2\times3^2\times5=90\), so the answer is (90) minutes. चरण 1: साथ आवाज करने का समय (6), (9) और (15) का लघुत्तम समापवर्त्य है। चरण 2: \(6=2\times3\), \(9=3^2\), \(15=3\times5\)। चरण 3: \(2\times3^2\times5=90\), इसलिए उत्तर (90) मिनट है।
The next common ringing time is the LCM of the two intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\) and \(24=2^3\times3\), so LCM \(=2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time questions, use LCM. चरण 1: साथ बजने का अगला समय दोनों अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(24=2^3\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^2=72\)। चरण 3: दोहराव वाले समय के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य प्रयोग करें।
The next common glowing time is the LCM of (8), (12), and (16).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(12=2^2\times3\), and \(16=2^4\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4\times3=48\), so the answer is (48) seconds. चरण 1: साथ जलने का अगला समय (8), (12) और (16) का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(8=2^3\), \(12=2^2\times3\), \(16=2^4\)। चरण 3: \(2^4\times3=48\), इसलिए उत्तर (48) सेकंड है।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(15=3\times5\) and \(20=2^2\times5\), so LCM \(=2^2\times3\times5=60\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time events, use LCM. चरण 1: साथ बजने का अगला समय दोनों अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(15=3\times5\) और \(20=2^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3\times5=60\)। चरण 3: दोहराव वाले समय में लघुत्तम समापवर्त्य का प्रयोग करें।
\(2^2\times3\times5=60\), so the answer is (60) seconds. चरण 1: साथ चमकने का अगला समय (10), (15) और (20) का लघुत्तम समापवर्त्य है। चरण 2: \(10=2\times5\), \(15=3\times5\), \(20=2^2\times5\)। चरण 3: \(2^2\times3\times5=60\), इसलिए उत्तर (60) सेकंड है।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें।
In this interval the factor signs are (+), (+), (-), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the factor signs are (+), (+), (-), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में कारकों के चिह्न (+), (+), (-) हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: बाहरी चिन्ह को अंत में लगाएं।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें।
In this interval the factor signs are (-), (+), (+), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the factor signs are (-), (+), (+), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में कारकों के चिह्न (-), (+), (+) हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: बाहरी चिन्ह को अंत में लगाएं।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जांचें।
In this interval the first factor is positive and the second is negative, so the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the first factor is positive and the second is negative, so the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहला कारक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है इसलिए बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: हर कारक का चिह्न अलग जांचें।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: विषम संख्या ऋणात्मक कारकों से मान ऋणात्मक होता है।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जाँचें।
In this interval the first factor is positive and the second is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the first factor is positive and the second is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहला कारक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है, बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक करता है। टिप: हर कारक का चिह्न अलग देखें।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें।
\(\sqrt{2}\) is irrational, and dividing by non-zero rational (2) keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is about (0.707), so it lies between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Check both the interval condition and the nature of the number. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और अशून्य परिमेय (2) से भाग देने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) लगभग (0.707) है, इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। चरण 3: अंतराल और संख्या की प्रकृति दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
(57) lies in this interval, so \(\sqrt{57}\) lies between (7) and (8).
Step 3
Exam Tip
Square the boundary numbers to understand square-root intervals. चरण 1: \(7<\sqrt{t}<8\) का अर्थ है (49<t<64)। चरण 2: (57) इस अंतराल में है, इसलिए \(\sqrt{57}\) (7) और (8) के बीच होगा। चरण 3: वर्गमूल के अंतराल को समझने के लिए सीमा संख्याओं का वर्ग करें।
(150) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{150}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(12<\sqrt{n}<13\) का अर्थ है (144<n<169)। चरण 2: (150) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{150}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
(130) is not a perfect square, so \(\sqrt{130}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares to set the range. चरण 1: (121<130<144), इसलिए \(11<\sqrt{130}<12\)। चरण 2: (130) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{130}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें।
(42) lies in this interval, so \(\sqrt{42}\) lies between (6) and (7).
Step 3
Exam Tip
Square the boundary numbers to understand square-root intervals. चरण 1: \(6<\sqrt{t}<7\) का अर्थ है (36<t<49)। चरण 2: (42) इस अंतराल में है, इसलिए \(\sqrt{42}\) (6) और (7) के बीच होगा। चरण 3: वर्गमूल के अंतराल को समझने के लिए सीमा संख्याओं का वर्ग करें।
(105) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{105}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(10<\sqrt{n}<11\) का अर्थ है (100<n<121)। चरण 2: (105) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{105}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
(85) is not a perfect square, so \(\sqrt{85}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (81<85<100), इसलिए \(9<\sqrt{85}<10\)। चरण 2: (85) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
(20) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{20}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root inequalities, square the bounds to form the interval. चरण 1: \(4<\sqrt{n}<5\) का अर्थ है (16<n<25)। चरण 2: (20) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{20}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की असमानता में दोनों तरफ वर्ग लेकर अंतराल बनाएं।
(45) is not a perfect square, so \(\sqrt{45}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (36<45<49), इसलिए \(6<\sqrt{45}<7\)। चरण 2: (45) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{45}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
(17) is not a perfect square, so \(\sqrt{17}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares in interval questions. चरण 1: (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। चरण 2: (17) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
