A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है/(p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Converting divisibility into a multiple form helps in the proof. चरण 1: \(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। चरण 3: विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है।
So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct factor according to the number. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। चरण 3: संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें।
A. (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
A number divisible by (3) has (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
So it can be written as (p=3k).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove the same thing for (q) in the next step. चरण 1: (3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: ऐसे रूप में लिखने से अगले चरण में (q) के लिए भी वही बात मिलती है।
When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4. चरण 1: (m=4q+3) में 1 जोड़ें। चरण 2: (m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। चरण 3: शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is (6q+0), that is (6q).
Step 3
Exam Tip
Forms with zero remainder help identify multiples. चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (6) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+0), अर्थात (6q) के रूप में होगी। चरण 3: शून्य शेषफल वाले रूप गुणज पहचानने में सहायक होते हैं।
After this, put (p=rk) to show \(r\mid q\). चरण 1: \(p^2=rq^2\) से \(r\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (r) अभाज्य है, इसलिए \(r\mid p\) होगा। चरण 3: इसके बाद (p=rk) रखकर \(r\mid q\) दिखाया जाता है।
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
In such proofs, state the prime-factor rule clearly. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। चरण 3: ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए।
Write the form according to the prime divisor involved. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें।
This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है।
Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(a=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
Step 3
Exam Tip
After divisibility, write the number using that factor. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें।
Remainder 0 means the number is exactly divisible by the divisor. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यदि शेषफल 0 है, तो (a=23q+0=23q) होगा। चरण 3: शेषफल 0 होने का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित है।
It is a multiple of (7), so it is exactly divisible by (7).
Step 3
Exam Tip
Zero remainder means exact division. चरण 1: (7q+0) को सरल करने पर (7q) मिलता है। चरण 2: यह (7) का गुणज है, इसलिए (7) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शून्य शेषफल का अर्थ पूर्ण विभाजन होता है।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
On division by (4), possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is (4), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
Such a form should be written as (4(q+1)). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: (4q+4) में शेषफल (4) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: ऐसे रूप को (4(q+1)) लिखना चाहिए।
This form helps show divisibility of (b) later. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (3) से विभाज्य संख्या को (3k) के रूप में लिखा जाता है। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता दिखाने में मदद करता है।
A number exactly divisible by (10) has the form (10q).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (10) end in (0).
Step 3
Exam Tip
Euclidean forms can also be used in digit-based questions. चरण 1: (10) से पूरी तरह विभाजित संख्या (10q) के रूप में होती है। चरण 2: (10) के गुणजों का अंतिम अंक (0) होता है। चरण 3: यूक्लिड रूप को अंक पहचान के सवालों में भी प्रयोग किया जा सकता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{550}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{54}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{3}{550}\) मिलता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{1100}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{63}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{7}{1100}\) मिलता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2}{275}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{72}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{2}{275}\) मिलता है।
Since (312) is greater, \(305=24 \times 12+17\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(24 \times 12=288\) और \(24 \times 13=312\) है। चरण 2: (312) बड़ा है, इसलिए \(305=24 \times 12+17\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं होता।
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(31 \times 12=372\) और \(31 \times 13=403\)। चरण 2: (403) बड़ा है, इसलिए \(400=31 \times 12+28\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं है।
A. वह दिखाई नहीं देगा पर सूचना के रूप में रह सकता है/It may not appear but can remain as information
Step 1
Concept
The dominant form can control the visible trait.
Step 2
Why this answer is correct
The recessive form can remain hidden.
Step 3
Exam Tip
Still it can remain as information passed to the next generation. चरण 1: प्रभावी रूप दिखाई देने वाले लक्षण को नियंत्रित कर सकता है। चरण 2: अप्रभावी रूप छिप सकता है। चरण 3: फिर भी वह अगली पीढ़ी में जाने वाली सूचना के रूप में रह सकता है।
A. जब संतान को दोनों माता पिता से अप्रभावी रूप मिलें/When offspring receives recessive forms from both parents
Step 1
Concept
A plant with one dominant and one recessive form may look tall.
Step 2
Why this answer is correct
It can pass the recessive form through gamete.
Step 3
Exam Tip
If both parents pass recessive forms the dwarf trait appears. चरण 1: एक प्रभावी और एक अप्रभावी रूप वाला पौधा बाहर से लंबा दिख सकता है। चरण 2: वह अप्रभावी रूप को जनन कोशिका में दे सकता है। चरण 3: दोनों माता पिता से अप्रभावी रूप मिलने पर बौना लक्षण दिखेगा।
A. दो हाइड्रोजन अणु और एक ऑक्सीजन अणु मिलकर दो जल अणु बनाते हैं/Two hydrogen molecules and one oxygen molecule form two water molecules
Step 1
Concept
Water contains hydrogen and oxygen in a fixed ratio.
Step 2
Why this answer is correct
A balanced equation must have equal hydrogen and oxygen atoms on both sides.
Step 3
Exam Tip
Therefore two hydrogen molecules and one oxygen molecule form two water molecules. चरण 1: जल में हाइड्रोजन और ऑक्सीजन निश्चित अनुपात में होते हैं। चरण 2: संतुलन में दोनों ओर हाइड्रोजन और ऑक्सीजन परमाणु बराबर होने चाहिए। चरण 3: इसलिए दो हाइड्रोजन अणु और एक ऑक्सीजन अणु से दो जल अणु बनते हैं।
The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1339659). The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें।
The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (25897). The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16218). The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(153,170,\ldots,748\) हैं और उनका योग (16218) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (28832). The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (21672). The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(210,224,\ldots,798\) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37674). The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3150). The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता।
The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (60984). The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
Step 3
Exam Tip
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें।
The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1188). The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ।
The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6688). The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें।
The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1950). The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ।
The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3808). The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें।
The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4230). The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5100). The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3192). The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1407). The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
Then (a=5k) can be written. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। चरण 2: (5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। चरण 3: फिर (a=5k) लिखा जा सकता है।
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है/Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then use the prime rule to write \(3\mid p\). चरण 1: \(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें।
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives \(5\mid a\). चरण 1: \(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है।
Do not assume (k=q) without reason. चरण 1: \(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। चरण 3: (k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें।
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना/Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Do not conclude about (q) without substitution. चरण 1: (p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। चरण 2: \(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। चरण 3: बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना/To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है/\(b^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction. चरण 1: \(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें।
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है/Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives divisibility of (a). चरण 1: \(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)/If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule gives the divisibility of (x) and later (y). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है।
This shows (3) common to both (a) and (b). चरण 1: \(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। चरण 3: यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है।
A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत/Principle of prime factor
Step 1
Concept
(3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) एक अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है।
A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा/From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
Step 1
Concept
From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).
Step 3
Exam Tip
Do not create an unsupported relation between variables. चरण 1: \(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। चरण 2: इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। चरण 3: चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है/Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Understand divisibility of the square first, then of the original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की।
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है/\(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
Give the reason before writing such a form. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। चरण 3: कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। चरण 3: इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\)/If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
Writing this rule makes the proof logical. चरण 1: (2) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। चरण 3: इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है।
A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This general rule works for the proofs of (2,3,5). चरण 1: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। चरण 2: इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। चरण 3: यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है।
If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है।
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)/\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b). चरण 1: समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर।
The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
Writing this prime-number property clearly helps in scoring well. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है।
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। चरण 3: इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore (q=3r) is written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है।
Use the prime rule to move from square to original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं।
A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore writing (q=3r) is correct. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (q=3r) लिखना सही है।
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).
Step 3
Exam Tip
This helps get a common factor in numerator and denominator. चरण 1: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। चरण 3: इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then writing (p=3k) is valid. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p=3k) लिखना सही है।
A. (r), (x) को भी विभाजित करता है/(r) also divides (x)
Step 1
Concept
Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides \(x^2\), it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
This rule is essential in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\). चरण 1: वर्ग में अभाज्य गुणनखंड जोड़े के रूप में आते हैं। चरण 2: यदि अभाज्य संख्या \(x^2\) को विभाजित करे, तो वह (x) को भी विभाजित करती है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यह नियम जरूरी है।
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m). चरण 1: \(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें।
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/(p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Apply the prime factor rule to the correct number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) is prime, so the prime divisibility rule applies.
Step 3
Exam Tip
Therefore (p) is also divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है और अभाज्य विभाज्यता का नियम लागू होता है। चरण 3: इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\). चरण 1: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। चरण 2: यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है।
Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखता है।
If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This rule is used in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में उपयोग होता है।
So \(p^2\) has factor (3) and is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the factor on the right side. चरण 1: समीकरण के दाईं ओर \(3q^2\) है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) में (3) गुणनखंड है और वह (3) से विभाज्य है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दाईं ओर का गुणनखंड पहचानें।
If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है।
Remember this rule from square to original number. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर आने वाला यह नियम याद रखें।
So \(a^2\) has factor (2) and is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Use the factor to decide divisibility. चरण 1: समीकरण में दाईं ओर \(2b^2\) है। चरण 2: इसलिए \(a^2\) में (2) गुणनखंड है और वह (2) से विभाज्य है। चरण 3: गुणनखंड देखकर विभाज्यता का निष्कर्ष लें।
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The common factor (5) breaks the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The prime under the root becomes the common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: संख्या के नीचे जो अभाज्य है, वही साझा गुणनखंड बनता है।
A. (p) भी (5) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This rule moves the proof forward. चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होता है। चरण 3: इसी नियम से प्रमाण आगे बढ़ता है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This gives the next conclusion about (p) in the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: प्रमाण में इसी से (p) के बारे में अगला निष्कर्ष लिया जाता है।
A. (p) भी (3) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is divisible by (3), then the integer is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main step in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (3) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य कदम है।
