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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Hard Level 13

यदि \(n(A\cup B\cup C)=128\) और ठीक एक समुच्चय में 63 तत्त्व तथा तीनों समुच्चयों में 11 तत्त्व हैं, तो ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्त्व होंगे?

If \(n(A\cup B\cup C)=128\) and 63 elements are in exactly one set while 11 are in all three sets, how many elements are in exactly two sets?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. 54

Explanation

Simple Explanation

समुच्चयों के संयुक्त में तत्त्वों को तीन परस्पर भिन्न वर्गों में बाँटा जा सकता है: ठीक एक में, ठीक दो में और तीनों में। इसलिए \(n(A\cup B\cup C)=\text{(ठीक एक)}+\text{(ठीक दो)}+\text{(तीनों)}\). यहाँ \(128=63+x+11\) जिससे \(x=128-63-11=54\)। सामान्य गलती: कुछ लोग तीनों में आने वाले 11 को बार-बार घटा देते हैं (उदा. \(128-63-22=43\))—यह गलत है क्योंकि तीनों के हिस्से को केवल एक बार घटाना चाहिए। परीक्षा टिप: यूनियन को सीधे तीन विसंयोजित भागों में बाँटकर समस्या तुरंत हल हो जाती है। / Partition the union into three disjoint classes: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three. So \(n(A\cup B\cup C)=\text{(exactly one)}+\text{(exactly two)}+\text{(all three)}\). Here \(128=63+x+11\), giving \(x=128-63-11=54\). Common mistake: subtracting the triple-intersection twice (e.g. \(128-63-22=43\)) which double-counts the triple-region; you should subtract it only once. Exam tip: think in terms of disjoint regions (exactly 1, exactly 2, exactly 3) rather than manipulating pairwise counts directly.

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यदि \(n(A\cup B\cup C)=128\) और ठीक एक समुच्चय में 63 तत्त्व तथा तीनों समुच्चयों में 11 तत्त्व हैं, तो ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्त्व होंगे? / If \(n(A\cup B\cup C)=128\) and 63 elements are in exactly one set while 11 are in all three sets, how many elements are in exactly two sets?

Correct Answer: B. 54. Explanation: समुच्चयों के संयुक्त में तत्त्वों को तीन परस्पर भिन्न वर्गों में बाँटा जा सकता है: ठीक एक में, ठीक दो में और तीनों में। इसलिए \(n(A\cup B\cup C)=\text{(ठीक एक)}+\text{(ठीक दो)}+\text{(तीनों)}\). यहाँ \(128=63+x+11\) जिससे \(x=128-63-11=54\)। सामान्य गलती: कुछ लोग तीनों में आने वाले 11 को बार-बार घटा देते हैं (उदा. \(128-63-22=43\))—यह गलत है क्योंकि तीनों के हिस्से को केवल एक बार घटाना चाहिए। परीक्षा टिप: यूनियन को सीधे तीन विसंयोजित भागों में बाँटकर समस्या तुरंत हल हो जाती है। / Partition the union into three disjoint classes: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three. So \(n(A\cup B\cup C)=\text{(exactly one)}+\text{(exactly two)}+\text{(all three)}\). Here \(128=63+x+11\), giving \(x=128-63-11=54\). Common mistake: subtracting the triple-intersection twice (e.g. \(128-63-22=43\)) which double-counts the triple-region; you should subtract it only once. Exam tip: think in terms of disjoint regions (exactly 1, exactly 2, exactly 3) rather than manipulating pairwise counts directly.