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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Medium Level 14

तीन समुच्चयों के लिए दिया गया है \(n(A\cap B)=18\), \(n(B\cap C)=16\), \(n(C\cap A)=14\) तथा \(n(A\cap B\cap C)=6\)। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?

For three sets it is given that \(n(A\cap B)=18\), \(n(B\cap C)=16\), \(n(C\cap A)=14\) and \(n(A\cap B\cap C)=6\). How many elements belong to exactly two of the sets?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. 30

Explanation

Simple Explanation

कोर विचार: किसी भी जोड़ी (उदा. A∩B) के उन तत्वों को जो ठीक उसी दो समुच्चयों में हैं प्राप्त करने के लिए उसी जोड़ी के आंतर से तीनों का साझा भाग घटाएँ: \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)\)। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले कुल तत्व होंगे \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\). क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B (42) तब आ जाता है जब त्रिकोणीय साझा भाग \(6\) को केवल एक बार घटा दिया जाए (\(18+16+14-6=42\)) — यह गलत है क्योंकि वे 6 तत्व प्रत्येक जोड़ी के आंतर में गिने गए थे और हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। विकल्प C (48) तब होगा जब कोई घटाव न किया जाए (तीनों में आने वाले तत्वों को शामिल कर लिया गया है), और विकल्प D (36) किसी गलत आंशिक घटाव का परिणाम है। परीक्षात्मक सुझाव: "ठीक दो" के लिए हर जोड़ी का आंतर लें और उससे \(n(A\cap B\cap C)\) घटाएँ, फिर जोड़ों का योग करें। / Core idea: For each pair, elements that belong to exactly that pair = n(pair) - n(triple). So compute \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\), which is the required count. Why other choices fail: option B (42) comes from subtracting the triple intersection only once (\(18+16+14-6\)) — incorrect because the 6 elements were counted in each pair and must be removed from each pair. Option C (48) ignores the triple overlap entirely; option D (36) is another incorrect partial subtraction. Exam tip: For "exactly two" always subtract the triple intersection from each pairwise intersection, then add the results.

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Correct Answer: A. 30. Explanation: कोर विचार: किसी भी जोड़ी (उदा. A∩B) के उन तत्वों को जो ठीक उसी दो समुच्चयों में हैं प्राप्त करने के लिए उसी जोड़ी के आंतर से तीनों का साझा भाग घटाएँ: \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)\)। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले कुल तत्व होंगे \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\). क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B (42) तब आ जाता है जब त्रिकोणीय साझा भाग \(6\) को केवल एक बार घटा दिया जाए (\(18+16+14-6=42\)) — यह गलत है क्योंकि वे 6 तत्व प्रत्येक जोड़ी के आंतर में गिने गए थे और हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। विकल्प C (48) तब होगा जब कोई घटाव न किया जाए (तीनों में आने वाले तत्वों को शामिल कर लिया गया है), और विकल्प D (36) किसी गलत आंशिक घटाव का परिणाम है। परीक्षात्मक सुझाव: "ठीक दो" के लिए हर जोड़ी का आंतर लें और उससे \(n(A\cap B\cap C)\) घटाएँ, फिर जोड़ों का योग करें। / Core idea: For each pair, elements that belong to exactly that pair = n(pair) - n(triple). So compute \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\), which is the required count. Why other choices fail: option B (42) comes from subtracting the triple intersection only once (\(18+16+14-6\)) — incorrect because the 6 elements were counted in each pair and must be removed from each pair. Option C (48) ignores the triple overlap entirely; option D (36) is another incorrect partial subtraction. Exam tip: For "exactly two" always subtract the triple intersection from each pairwise intersection, then add the results.