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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Medium Level 13

तीन समुच्चयों के वेन आरेख में \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=13\), \(n(C\cap A)=10\) और \(n(A\cap B\cap C)=4\) दिए गए हैं। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कुल कितने हैं?

In a three-set Venn diagram, \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=13\), \(n(C\cap A)=10\), and \(n(A\cap B\cap C)=4\). How many elements lie in exactly two of the sets?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. 23

Explanation

Simple Explanation

ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्त्वों के लिये प्रत्येक जोड़ी के केवल-जोड़ी वाले हिस्से (pair-only region) निकालें। उदाहरणतः A और B में केवल वही तत्त्व होंगे जो A∩B में हैं पर तीनों में नहीं हैं, यानी \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\)। इसी तरह B और C के लिये \(13-4=9\) और C तथा A के लिये \(10-4=6\)। इन्हें जोड़ने पर कुल \(8+9+6=23\) मिलता है, इसलिए उत्तर 23 है। निकटतम भ्रांत उत्तर 31 इसलिए गलत है क्योंकि वह समहित जोड़ीगण के योग \(35\) में से केवल एक बार त्रि-आवरण भाग \(4\) घटा देता है (\(35-4=31\)) जबकि त्रि-आवरण को हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: पहले तीनों में आने वाले (केन्द्र) को लिखें और फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए (जोड़ी का इंटरसेक्शन) − (त्रि-आवरण) निकालें ताकि डबल-काउंटिंग न हो। / Count the elements that lie in exactly two sets by computing each pair-only region: for A∩B only compute \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\); for B∩C only \(13-4=9\); for C∩A only \(10-4=6\). Summing gives \(8+9+6=23\). The common wrong answer 31 arises from subtracting the triple-overlap only once from the total pairwise sum \(12+13+10=35\), i.e. \(35-4=31\), which is incorrect because the triple-overlap is included in each pair and must be removed from each pair separately. Exam tip: mark the central (three-way) region first, then compute each pair-only region as (pair intersection) − (central) to avoid double-counting.

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तीन समुच्चयों के वेन आरेख में \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=13\), \(n(C\cap A)=10\) और \(n(A\cap B\cap C)=4\) दिए गए हैं। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कुल कितने हैं? / In a three-set Venn diagram, \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=13\), \(n(C\cap A)=10\), and \(n(A\cap B\cap C)=4\). How many elements lie in exactly two of the sets?

Correct Answer: A. 23. Explanation: ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्त्वों के लिये प्रत्येक जोड़ी के केवल-जोड़ी वाले हिस्से (pair-only region) निकालें। उदाहरणतः A और B में केवल वही तत्त्व होंगे जो A∩B में हैं पर तीनों में नहीं हैं, यानी \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\)। इसी तरह B और C के लिये \(13-4=9\) और C तथा A के लिये \(10-4=6\)। इन्हें जोड़ने पर कुल \(8+9+6=23\) मिलता है, इसलिए उत्तर 23 है। निकटतम भ्रांत उत्तर 31 इसलिए गलत है क्योंकि वह समहित जोड़ीगण के योग \(35\) में से केवल एक बार त्रि-आवरण भाग \(4\) घटा देता है (\(35-4=31\)) जबकि त्रि-आवरण को हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: पहले तीनों में आने वाले (केन्द्र) को लिखें और फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए (जोड़ी का इंटरसेक्शन) − (त्रि-आवरण) निकालें ताकि डबल-काउंटिंग न हो। / Count the elements that lie in exactly two sets by computing each pair-only region: for A∩B only compute \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\); for B∩C only \(13-4=9\); for C∩A only \(10-4=6\). Summing gives \(8+9+6=23\). The common wrong answer 31 arises from subtracting the triple-overlap only once from the total pairwise sum \(12+13+10=35\), i.e. \(35-4=31\), which is incorrect because the triple-overlap is included in each pair and must be removed from each pair separately. Exam tip: mark the central (three-way) region first, then compute each pair-only region as (pair intersection) − (central) to avoid double-counting.