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SubjectsMathematics
In this Class 9 Mathematics topic from Sequences and Progressions, students learn how to find the sum of the first n natural numbers: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. They explore the pattern behind the formula, understand its connection with arithmetic progressions, and apply it to calculate totals efficiently. The topic also develops skills in identifying terms, substituting values correctly, simplifying expressions, and solving related sequence-based problems.
Hard · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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(S_{77}=S_{76}+77) and (S_{75}=S_{76}-76), so the value is (1). Use differences of consecutive sums.(S_{77}=S_{76}+77) और (S_{75}=S_{76}-76) है इसलिए मान (1) है। लगातार योगों के अंतर का उपयोग करें।
The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the required difference is \(4095-1035=3060\). The value 4095 is only the sum of the first 90 natural numbers, not the difference. Exam tip: write \(S_{90}-S_{45}\) before calculating in such questions.पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(4095-1035=3060\) है। विकल्प 4095 केवल पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_{90}-S_{45}\) लिखकर दोनों योगों का अंतर निकालें।
(S_{117}=6903) and (S_{118}=7021), so it first exceeds (7000) at (n=118). In boundary questions, check two nearby values.(S_{117}=6903) और (S_{118}=7021) है इसलिए पहली बार (n=118) पर योग (7000) से अधिक होगा। सीमा प्रश्नों में आसपास के दो मान जांचें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) and \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\). Therefore, \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), so option B is correct. Option \(219:20\) does not result from simplifying the ratio correctly. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in the sum formula before reducing the ratio.प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) और \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\)। इसलिए \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प \(219:20\) में अनुपात को सही समान गुणनखंड से सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने से पहले दोनों योगों के सूत्र में \(n\) का मान सावधानी से रखें।
Total tiles are (S_r=2211), and (S_{66}=2211), so there are (66) rows. Such figures form a triangular number.कुल टाइलें (S_r=2211) हैं और (S_{66}=2211), इसलिए पंक्तियां (66) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या बनाती हैं।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\), we get \(a=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) gives \(b=84\), since \(\frac{84\times85}{2}=3570\). Therefore, \(b-a=84-70=14\). A close distractor such as \(12\) may result from incorrectly identifying the indices. Exam tip: first express each given sum using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then determine \(n\).प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\) से \(a=70\), क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) से \(b=84\), क्योंकि \(\frac{84\times85}{2}=3570\)। अतः \(b-a=84-70=14\)। \(12\) जैसी निकटतम भ्रामक संख्या तब मिल सकती है जब सूचकांकों का सही मिलान न किया जाए। परीक्षा टिप: दिए गए योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर \(n\) ज्ञात करें।
There are \(112-58+1=55\) terms from 58 to 112. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(a+l)\), we get \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\). Hence, 4675 is correct. A value such as 4735 can result from an error in counting terms or finding the average. Exam tip: always include \(+1\) when counting terms from one endpoint to another.58 से 112 तक कुल पदों की संख्या
\(112-58+1=55\) है। समांतर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)\) होगा। अतः \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\)। इसलिए सही उत्तर 4675 है। 4735 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में गलत गणना करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या निकालते समय हमेशा \(+1\) लगाएँ।
Let S_m be the sum of the first m natural numbers. In S_{m+2}-S_m, only the next two numbers, (m+1) and (m+2), remain. Thus, S_{m+2}-S_m=(m+1)+(m+2)=2m+3. Hence 2m+3=151, so 2m=148 and m=74. If m were 73, the difference would be 149, not 151. Exam tip: In differences of such sums, cancel the common initial terms and add only the extra terms.पहले m प्राकृतिक संख्याओं के योग को S_m मानें। तब S_{m+2}-S_m में केवल अगली दो संख्याएँ, अर्थात (m+1) और (m+2), बचती हैं। इसलिए S_{m+2}-S_m=(m+1)+(m+2)=2m+3। अतः 2m+3=151, जिससे 2m=148 और m=74 प्राप्त होता है। 73 लेने पर अंतर 149 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: योगों के ऐसे अंतर में समान शुरुआती पद कट जाते हैं और केवल अतिरिक्त पद जोड़ने होते हैं।
The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 125 natural numbers is \(\frac{125\times126}{2}=7875\). Therefore, the difference is \(11325-7875=3450\). It is also the sum of the numbers from 126 to 150. Although 3425 is close, it does not result from the correct calculation. Exam tip: interpret such a difference as the sum of the remaining consecutive terms.पहली 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{150\times151}{2}=11325\) और पहली 125 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{125\times126}{2}=7875\) है। अतः अंतर \(11325-7875=3450\) होगा। यह वास्तव में 126 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 3425 निकट का विकल्प है, पर वह सही गणना से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को शेष क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में भी पहचानें।
(S_{140}=9870) and (S_{141}=10011), so it first exceeds (10000) at (n=141). In boundary questions, check the previous and next sums.(S_{140}=9870) और (S_{141}=10011) है इसलिए पहली बार (n=141) पर योग (10000) से अधिक होगा। सीमा वाले प्रश्न में पिछला और अगला योग जांचें।
(S_{35}=630), (S_{55}=1540), and (S_{75}=2850), so the total is (5020). Write all three sums separately and add.(S_{35}=630), (S_{55}=1540) और (S_{75}=2850), इसलिए कुल (5020) है। तीनों योग अलग-अलग लिखकर जोड़ें।
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), whereas \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtraction, all common terms cancel and only \(n\) remains, so A is correct. Option B misses the last term by one. Exam tip: the difference of consecutive partial sums is the newly added term.\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद से एक कम लिया गया है। परीक्षा टिप: क्रमागत योगों का अंतर हमेशा नया जोड़ा गया पद होता है।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{108}=\frac{108\times109}{2}=54\times109=5886\). Hence, 5886 is correct. A value such as 5866 may result from a small multiplication or addition error, but applying the formula gives 5886. Exam tip: When \(n\) is even, divide \(n\) by 2 before multiplying.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{108}=\frac{108\times109}{2}=54\times109=5886\)। इसलिए सही उत्तर 5886 है। 5866 जैसी संख्या गुणा या जोड़ में छोटी गणना-त्रुटि से मिल सकती है, पर सूत्र लगाने पर सही मान 5886 आता है। परीक्षा टिप: \(n\) सम हो तो पहले \(n\) को 2 से काटकर गुणा करें।
(S_{64}=2080), (S_{84}=3570), and (S_{74}=2775), so the value is (2875). In mixed sums, write each (S_n) separately.(S_{64}=2080), (S_{84}=3570) और (S_{74}=2775), इसलिए मान (2875) है। मिश्रित योगों में हर (S_n) अलग लिखें।
The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(S_{5p}=5050\), we get \(\frac{5p(5p+1)}{2}=5050\). Since \(\frac{100\times101}{2}=5050\), \(5p=100\), so \(p=20\). If p were 18, the index would be 90, whose sum is not 5050. Exam tip: recognise 5050 as half the product of two consecutive numbers first.प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(S_{5p}=5050\) से \(\frac{5p(5p+1)}{2}=5050\) मिलेगा। क्योंकि \(\frac{100\times101}{2}=5050\), इसलिए \(5p=100\) और \(p=20\)। 18 लेने पर सूचकांक 90 होगा, जिसका योग 5050 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले 5050 को किसी क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के आधे के रूप में पहचानें।
(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460), so (n=104). Match (2S_n) with the product of consecutive numbers.(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460) इसलिए (n=104) है। (2S_n) को क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं।
Since \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), the required number is the sum of the terms from 69 to 75. There are 7 terms, so their sum is \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\). Hence, 504 is correct. Exam tip: When finding \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).क्योंकि \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या \(69\) से \(75\) तक के पदों का योग होगी। यहाँ 7 पद हैं, अतः योग \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\) है। इसलिए सही उत्तर 504 है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें।
(S_{96}=4656), and (12.5%=\frac{1}{8}), so the value is (582). Converting percent to a fraction makes it easier.(S_{96}=4656) है और (12.5%=\frac{1}{8}), इसलिए मान (582) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलना आसान रहता है।
(S_{70}=2485), (S_{71}=2556), and (S_{69}=2415), so the value is (2626). Subtract carefully with nearby indices.(S_{70}=2485), (S_{71}=2556) और (S_{69}=2415), इसलिए मान (2626) है। निकट सूचकांकों में सावधानी से घटाएं।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=175\), we get \(\frac{175\times176}{2}=175\times88=15400\). Therefore, option B is correct. Option A can result from an error in multiplication or halving. Exam tip: always remember to use \(n+1\) in the formula.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=175\) रखने पर \(\frac{175\times176}{2}=175\times88=15400\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में गुणन या आधा करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(n+1\) लिखना न भूलें।
Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{140}=9870\), \(S_{130}=8515\), and \(S_{10}=55\). Therefore, \(S_{140}-S_{130}+S_{10}=9870-8515+55=1410\). Note that \(S_{140}-S_{130}\) is the sum of the numbers from 131 to 140; adding \(S_{10}\) gives 1410. Exam tip: You can also verify \(S_a-S_b\) by summing the terms from \(b+1\) to \(a\).यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{140}=9870\), \(S_{130}=8515\) और \(S_{10}=55\)। इसलिए \(S_{140}-S_{130}+S_{10}=9870-8515+55=1410\)। \(S_{140}-S_{130}\) केवल 131 से 140 तक की संख्याओं का योग है; इसमें \(S_{10}\) जोड़ने पर उत्तर 1410 मिलता है। परीक्षा टिप: \(S_a-S_b\) को \(b+1\) से \(a\) तक के पदों के योग के रूप में भी जाँच सकते हैं।
The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) gives \(n=59\), since \(\frac{59\times60}{2}=1770\). Therefore, \(2k+1=59\), so \(2k=58\) and \(k=29\). Option 30 may result from incorrectly taking the index as 60 instead of 59. Exam tip: first find n from \(S_n\), then equate the given index \(2k+1\) to n.प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) से \(n=59\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{59\times60}{2}=1770\)। अतः \(2k+1=59\), इसलिए \(2k=58\) और \(k=29\)। विकल्प 30 तब मिलता यदि 59 को गलती से 60 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले \(S_n\) से n ज्ञात करें, फिर दिए गए सूचकांक \(2k+1\) को n के बराबर रखें।
(S_{199}=19900) and (S_{200}=20100), so it first exceeds (20000) at (n=200). Checking nearby values is the safest method.(S_{199}=19900) और (S_{200}=20100) है इसलिए पहली बार (n=200) पर योग (20000) से अधिक होगा। आसपास के मान जांचना सबसे सुरक्षित है।
Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), a perfect square. However, \(S_n\) itself is not always odd or a square. Exam tip: substitute the standard sum formula to test such identities.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), जो पूर्ण वर्ग है। \(S_n\) स्वयं हमेशा पूर्ण वर्ग या विषम नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए व्यंजक में योग का सूत्र रखें।
Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\), and \(S_{18}=171\). Therefore, \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\). The option 3143 can result from an error of 20 while subtracting. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\) और \(S_{18}=171\)। इसलिए \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\)। विकल्प 3143 में घटाव करते समय 20 की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग से निकालें, फिर जोड़-घटाव करें।
