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SubjectsMathematics
In this Class 9 Mathematics topic from Sequences and Progressions, students learn how to find the sum of the first n natural numbers: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. They explore the pattern behind the formula, understand its connection with arithmetic progressions, and apply it to calculate totals efficiently. The topic also develops skills in identifying terms, substituting values correctly, simplifying expressions, and solving related sequence-based problems.
Easy · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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By the formula, (S_{33}=\frac{33\cdot34}{2}=561). If the list starts from (1), use the natural-number sum directly.सूत्र से (S_{33}=\frac{33\cdot34}{2}=561)। सूची (1) से शुरू हो तो सीधे प्राकृतिक संख्या का योग लगाएं।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=37\), so the sum is \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\). A value such as 693 can result from an arithmetic error while multiplying or dividing. Exam tip: for consecutive numbers from 1 to \(n\), apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=37\), इसलिए योग \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\) होगा। 693 जैसे विकल्प में गुणन या भाग करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: लगातार 1 से \(n\) तक के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाइए।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, the sum from \(1\) to \(42\) is \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\). A value such as \(893\) can result from an error in multiplication or division. Exam tip: for consecutive natural numbers starting from \(1\), directly use \(\frac{n(n+1)}{2}\).पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1\) से \(42\) तक का योग \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\) है। \(893\) जैसे विकल्प में गुणा या भाग की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here \(n=46\), so \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\). Therefore, the correct answer is 1081. A value such as 1071 can result from an error in multiplication or halving. Exam tip: take the last number as \(n\) and apply the formula directly.प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=46\) है, इसलिए \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\)। अतः सही उत्तर 1081 है। 1071 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: योग की अंतिम संख्या को \(n\) मानकर सीधे सूत्र लगाएँ।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Hence, 1485 is the correct answer. A value such as 1475 may result from a small multiplication or addition error. Exam tip: for the sum of consecutive numbers from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसा विकल्प गुणा या जोड़ में छोटी त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: लगातार 1 से \(n\) तक की संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाइए।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=58\), so \(\frac{58\times59}{2}=29\times59=1711\). Therefore, 1711 is correct. A value such as 1701 can result from an arithmetic error. Exam tip: When \(n\) is even, divide it by 2 first to simplify the calculation.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=58\), इसलिए \(\frac{58\times59}{2}=29\times59=1711\)। अतः सही उत्तर 1711 है। 1701 जैसे विकल्प गलत गुणा या जोड़ के कारण मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: सम संख्याओं वाले प्रश्न में पहले \(n\) को 2 से काटने पर गणना आसान होती है।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{65}=\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\). Hence, 2145 is correct. A common mistake is to calculate \(65\times66\) but forget to divide by 2. Exam tip: for the sum of consecutive natural numbers from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{65}=\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\)। इसलिए सही उत्तर 2145 है। \(65\times66\) करने के बाद 2 से भाग देना भूलना एक सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\). Hence, option C is correct. \(2475\) may result from an arithmetic error while multiplying or dividing. Exam tip: When \(n\) is even, divide \(n\) by 2 first to simplify the calculation.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(2475\) प्राप्त हो सकता है यदि गुणा या भाग करते समय गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(n\) सम हो तो पहले \(n\) को 2 से भाग देकर गणना सरल करें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(1+2+\cdots+80=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Hence, option C is correct. A value such as 3230 can result from an arithmetic error while halving or multiplying. Exam tip: For the sum of consecutive natural numbers, use \(\frac{n(n+1)}{2}\).प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1+2+\cdots+80=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। इसलिए विकल्प C सही है। 3230 जैसे विकल्प प्रायः गुणा या आधा करने में हुई गणना-त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=90\), we get \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\). Therefore, \(4095\) is the correct answer. A value such as \(4085\) may result from a small multiplication or division error. Exam tip: Cancel the even factor with 2 before multiplying \(n(n+1)\).पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=90\) रखने पर \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(4095\) है। \(4085\) जैसी संख्या विभाजन या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) का गुणन करने से पहले सम संख्या को 2 से काट लें।
\(S_n\) contains the numbers from 1 to \(n\). To obtain \(S_{n+1}\), only the next natural number, \(n+1\), is added; hence A is correct. Exam tip: list the added term to verify a recurrence.\(S_n\) में 1 से \(n\) तक की संख्याएँ होती हैं। \(S_{n+1}\) पाने के लिए केवल अगली संख्या \(n+1\) जोड़ते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में पदों की सूची लिखकर जाँचें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), so \(n(n+1)=4290\). Since \(65\times66=4290\), \(n=65\). For \(n=64\), the sum is \(\frac{64\times65}{2}=2080\), not 2145. Exam tip: Set the product of two consecutive numbers equal to \(2S\) to find \(n\) quickly.पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), इसलिए \(n(n+1)=4290\)। \(65\times66=4290\), अतः \(n=65\)। \(64\) लेने पर योग \(\frac{64\times65}{2}=2080\) होगा, जो 2145 नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो संख्याओं का गुणनफल \(2S\) के बराबर रखकर \(n\) जल्दी ज्ञात करें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Pairing the sequence gives \(2S_n=n(n+1)\). \(\frac{n(n-1)}{2}\) is the sum up to \(n-1\). Exam tip: always check for the \(n+1\) factor.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। युग्म बनाने पर \(2S_n=n(n+1)\) मिलता है। \(\frac{n(n-1)}{2}\) पहली \(n-1\) संख्याओं का योग है। परीक्षा में \(n+1\) वाला गुणनखंड अवश्य जाँचें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=90\) gives \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\), so the correct value is \(90\). For \(n=89\), the sum is \(4005\), making it a close but incorrect option. In exams, verify the value by substituting it into the sum formula.प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(n=90\) रखने पर \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\) प्राप्त होता है, इसलिए सही मान \(90\) है। \(n=89\) के लिए योग \(4005\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा में दिए गए \(n\) को योग के सूत्र में रखकर उत्तर की जाँच करें।
The sum of the first 54 natural numbers is found using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Therefore, 1485 is correct. A value such as 1475 can result from an error while multiplying or dividing by 2. Exam tip: Substitute the last natural number for \(n\) in the formula.पहली 54 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n\) के स्थान पर हमेशा अंतिम प्राकृतिक संख्या रखें।
(S_{58}=\frac{58\cdot59}{2}=1711). For a list starting from (1), use the natural-number sum formula.(S_{58}=\frac{58\cdot59}{2}=1711)। (1) से शुरू होने वाली सूची में प्राकृतिक संख्या योग सूत्र लगाएं।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=65\), so \(\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\). Therefore, the correct answer is 2145. A value such as 2112 can result from using 65 or 66 incorrectly in the calculation. Exam tip: for a sum ending at \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=65\), इसलिए \(\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\)। अतः सही उत्तर 2145 है। 2112 जैसी संख्या तब आ सकती है जब गणना में 65 या 66 का गलत उपयोग हो जाए। परीक्षा टिप: योग वाले प्रश्नों में अंतिम संख्या को \(n\) मानकर \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=70\), so \(1+2+\cdots+70=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\). Therefore, option C is correct. A value such as 2475 can result from a small multiplication or division error. Exam tip: divide the even factor by 2 first to calculate quickly.प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=70\) है, इसलिए \(1+2+\cdots+70=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\)। अतः विकल्प C सही है। 2475 जैसा उत्तर गुणा या भाग में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले सम संख्या को 2 से काटकर गणना करें।
The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=80\), so \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Therefore, 3240 is the correct option. 3200 can result from the common error of using \(80\times80/2\); the formula must include \(n+1\). Exam tip: Substitute the last number for n and use \(n(n+1)/2\).पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=80\), इसलिए \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। अतः सही विकल्प 3240 है। 3200 एक संभावित गलती है, जो \(80\times80/2\) लेने पर मिलती है; सूत्र में \(n+1\) अवश्य आता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतिम संख्या n रखने के बाद \(n(n+1)/2\) लिखें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Hence, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=36\times73=2628\). Therefore, 2628 is correct. A value such as 2618 can result from an arithmetic error in multiplication or addition. Exam tip: when \(n\) is even, divide \(n\) by 2 first to simplify the calculation.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=36\times73=2628\)। इसलिए सही उत्तर 2628 है। 2618 जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सम संख्या \(n\) होने पर पहले \(n\) को 2 से भाग देकर गणना करें।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=85\), we get \(\frac{85\times86}{2}=85\times43=3655\). Therefore, option C is correct. A value such as \(3645\) results from an arithmetic error in the calculation. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of consecutive natural numbers starting from 1.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=85\) रखने पर \(\frac{85\times86}{2}=85\times43=3655\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(3645\) जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ।
The first n natural numbers run from 1 to n, so n is the largest number and \(n+1\) is the next natural number. Option B represents only the largest number, n. Exam tip: identify what each factor means before using a formula.प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ 1 से n तक होती हैं, इसलिए उनकी सबसे बड़ी संख्या n है और उसके बाद की संख्या \(n+1\) होती है। विकल्प B केवल n को दर्शाता है। परीक्षा में सूत्र के प्रत्येक पद का अर्थ पहचानें।
\(n\) and \(n+1\) are consecutive integers, so one of them must be even. Hence \(n(n+1)\) is always even, making division by 2 valid. Exam tip: consecutive integers always alternate between even and odd.\(n\) और \(n+1\) क्रमागत पूर्णांक हैं, इसलिए इनमें से एक अवश्य सम होता है। अतः \(n(n+1)\) सदैव सम होता है और उसे 2 से विभाजित किया जा सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं में सम-विषम क्रम बदलता रहता है।
The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=95\), we get \(\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\). Therefore, option C is correct. A value such as \(4550\) may result from an error while multiplying the middle terms. Exam tip: cancel 2 with the even factor before multiplying.पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=95\) रखने पर \(\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(4550\) जैसी संख्या मध्य के गुणन में गलती करने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) में किसी एक सम संख्या को पहले 2 से काटकर गणना करें।
The sum is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Writing it as \(\frac{n^2+n}{2}\) shows that the highest power of n is 2, so it is a quadratic function. A linear function has highest power 1. Exam tip: expand the formula and check the highest power.पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(\frac{n^2+n}{2}\) लिखने पर n का उच्चतम घात 2 मिलता है, इसलिए यह द्विघात फलन है। रैखिक फलन में उच्चतम घात 1 होता है। परीक्षा टिप: सूत्र को फैलाकर उच्चतम घात पहचानें।
