The expression (x^2+px+16) is a perfect square and (p) is positive. What is the value of (p)?(x^2+px+16) पूर्ण वर्ग है और (p) धन है। (p) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (8)(8)
The direct answer is option B: \(p=8\). Since the constant term is \(16=4^2\), a perfect-square expression with a positive middle coefficient must be \((x+4)^2\). Expanding gives \((x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=x^2+8x+16\). Comparing with \(x^2+px+16\), we get \(p=8\). Option A, 4, is the square root of the constant term, not the middle coefficient. Option B, 8, is correct because the identity doubles that root in the middle term. Option C, 16, is the constant term itself, so it is not \(p\). Option D, 32, incorrectly doubles 16 instead of doubling 4. If the coefficient were negative, the other square \((x-4)^2\) would give \(p=-8\), but the question says \(p\) is positive, so only 8 is suitable. Memory cue: for \(x^2+px+q^2\), the positive perfect-square middle coefficient is \(p=2q\).सीधा उत्तर विकल्प B है: \(p=8\)। स्थिर पद \(16=4^2\) है। चूँकि बीच का गुणांक धनात्मक है, पूर्ण वर्ग \((x+4)^2\) होना चाहिए। इसे फैलाने पर \((x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=x^2+8x+16\) मिलता है। अब \(x^2+px+16\) से तुलना करने पर \(p=8\) प्राप्त होता है। विकल्प A का 4 स्थिर पद का वर्गमूल है, बीच का गुणांक नहीं। विकल्प B सही है क्योंकि पूर्ण वर्ग की पहचान में वर्गमूल को 2 से गुणा करके बीच का पद बनता है। विकल्प C का 16 स्वयं स्थिर पद है, इसलिए वह \(p\) नहीं हो सकता। विकल्प D का 32 गलत है क्योंकि इसमें 16 को दोगुना किया गया है, जबकि 4 को दोगुना करना चाहिए। यदि \(p\) ऋणात्मक होता, तो \((x-4)^2\) से \(p=-8\) मिलता; लेकिन प्रश्न में \(p\) धनात्मक है, इसलिए 8 ही सही है। याद रखें: \(x^2+px+q^2\) में धनात्मक पूर्ण वर्ग के लिए बीच का गुणांक \(2q\) होता है।
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