If (x^2-10x+k) is a perfect square, what is the value of (k)?(x^2-10x+k) पूर्ण वर्ग हो तो (k) का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (25)(25)
A quadratic of the form \(x^2+bx+k\) is a perfect square when it matches \((x-r)^2=x^2-2rx+r^2\). Comparing \(x^2-10x+k\) with this identity gives \(-2r=-10\), so \(r=5\). The constant term must then be \(r^2=25\). Thus the expression is \((x-5)^2\), and option C is correct.
The same result follows from completing the square: half of the coefficient of \(x\) is \(-10/2=-5\), and its square is \((-5)^2=25\). Therefore \(x^2-10x+25=(x-5)^2\). The sign disappears after squaring, but the middle term must remain negative. Options A, B, and D do not produce the required middle coefficient and constant term together.\(x^2+bx+k\) वाला द्विघात तब पूर्ण वर्ग होता है जब वह \((x-r)^2=x^2-2rx+r^2\) से मेल खाए। \(x^2-10x+k\) की तुलना करने पर \(-2r=-10\), इसलिए \(r=5\)। तब अचर पद \(r^2=25\) होना चाहिए। अतः व्यंजक \((x-5)^2\) है और विकल्प C सही है।
इसी परिणाम को पूर्ण वर्ग बनाने से भी पाते हैं। \(x\) के गुणांक का आधा \(-10/2=-5\) है और उसका वर्ग \((-5)^2=25\) है। इसलिए \(x^2-10x+25=(x-5)^2\)। वर्ग करने पर चिन्ह समाप्त हो जाता है, लेकिन मध्य पद ऋणात्मक ही रहना चाहिए। A, B और D में आवश्यक मध्य गुणांक तथा अचर पद एक साथ नहीं मिलते।
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