Which expression can be factorised using the difference-of-cubes identity?निम्नलिखित में से किस व्यंजक का गुणनखंडन घनों के अंतर की सर्वसमिका से किया जा सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(27a^3-8b^3\)\(27a^3-8b^3\)
The correct answer is B: \(27a^3-8b^3\). The difference-of-cubes identity applies to an expression of the form \(A^3-B^3\), and its factorisation is \((A-B)(A^2+AB+B^2)\). Here, \(27a^3=(3a)^3\) and \(8b^3=(2b)^3\). Thus, \(27a^3-8b^3=(3a)^3-(2b)^3\), which factorises as \((3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)\). Option A is a sum of cubes, because it is \(x^3+2^3\), so it requires the sum-of-cubes identity. Option C is a difference of squares: \(m^2-4^2\), not a difference of cubes. Option D is also a sum of cubes, not a difference. To avoid confusion, first check whether both terms are perfect cubes and then check the sign between them. The minus sign is essential for choosing the difference-of-cubes formula.सही उत्तर B है: \(27a^3-8b^3\)। घनों के अंतर की सर्वसमिका \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\) होती है। यहाँ \(27a^3=(3a)^3\) और \(8b^3=(2b)^3\) हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \((3a)^3-(2b)^3\) के रूप में लिखा जा सकता है और इसका गुणनखंडन \((3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)\) होगा। विकल्प A, \(x^3+2^3\), घनों का योग है; उसके बीच धन चिह्न है, इसलिए उस पर घनों के योग की सर्वसमिका लगेगी। विकल्प C, \(m^2-4^2\), वर्गों का अंतर है, घनों का नहीं। विकल्प D भी घनों का योग है। सही सूत्र चुनने के लिए पहले देखें कि दोनों पद पूर्ण घन हैं या नहीं, फिर उनके बीच का चिह्न देखें। सामान्य भ्रम यह होता है कि विद्यार्थी केवल घात देखकर सूत्र चुन लेते हैं; वास्तव में घात और धन या ऋण चिह्न दोनों की जाँच आवश्यक है।
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