If \(x+\frac{1}{x}=7\), what is the value of \(x^3+\frac{1}{x^3}\)?यदि \(x+\frac{1}{x}=7\) है तो \(x^3+\frac{1}{x^3}\) का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (322)(322)
The direct answer is option B, 322. Let \\(a=x\\) and \\(b=\\frac{1}{x}\\). We are given \\(a+b=7\\). Also, \\(ab=x\\cdot\\frac{1}{x}=1\\), provided \\(x\\neq0\\). Use the identity \\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\\). Substitution gives \\(7^3-3(1)(7)=343-21=322\\). Thus option B is correct. Option A, 336, does not subtract the required \\(3ab(a+b)\\) term. Option B follows the identity exactly. Option C, 343, is only \\(7^3\\); it forgets that \\(a^3+b^3\\) is not simply \\((a+b)^3\\). Option D, 364, results from an incorrect operation and is larger than the correct result. Do not try to find x itself; the identity gives the requested expression directly. Memory cue: if \\(x+1/x=7\\), then the cubes are \\(7^3-3\\times7\\) because the product is 1.सीधा उत्तर विकल्प B, 322, है। \\(a=x\\) और \\(b=\\frac{1}{x}\\) मानें। दिया है कि \\(a+b=7\\)। साथ ही \\(ab=x\\cdot\\frac{1}{x}=1\\), जहाँ \\(x\\neq0\\)। पहचान \\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\\) लगाएँ। मान रखने पर \\(7^3-3(1)(7)=343-21=322\\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, 336, में आवश्यक \\(3ab(a+b)\\) घटाया नहीं गया। विकल्प B पहचान का सही उपयोग करता है। विकल्प C, 343, केवल \\(7^3\\) है; इसमें यह भूल हुई है कि \\(a^3+b^3\\), \\((a+b)^3\\) के बराबर नहीं होता। विकल्प D, 364, गलत गणना से आता है और सही मान से बड़ा है। \\(x\\) का अलग मान निकालने की जरूरत नहीं है; पहचान सीधे माँगा गया मान देती है। याद रखें: जब \\(x+1/x=7\\) हो, तब घनों का योग \\(7^3-3\\times7\\) होगा क्योंकि दोनों पदों का गुणनफल 1 है।
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