What is the simplified form of ( (a+b)^3-(a-b)^3 )?( (a+b)^3-(a-b)^3 ) का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (2b(3a^2+b^2))(2b(3a^2+b^2))
The direct answer is A: 2b(3a²+b²). Use the cube expansions \\(a+b\\)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 and \\(a-b\\)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. Subtract the second from the first: a³-a³=0, 3a²b-(-3a²b)=6a²b, 3ab²-3ab²=0, and b³-(-b³)=2b³. The result is 6a²b+2b³. Taking out the common factor 2b gives 2b(3a²+b²), so option A is correct. Option B, 2a(a²+3b²), is the form associated with adding the two cubes rather than taking this difference; it has the wrong factor. Option C, 6ab, misses the cubic contribution 2b³ and has the wrong powers. Option D, a³-b³, is not the result of subtracting these two binomial cubes; it ignores the full expansions. A quick check with a = 1 and b = 1 gives 8 - 0 = 8, while option A gives 2(1)(3+1)=8. Memory cue: in this difference, odd b terms remain and the common factor is 2b.सीधा उत्तर A है: 2b(3a²+b²)। घन विस्तारों का प्रयोग करें: \\(a+b\\)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 और \\(a-b\\)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3। दूसरे को पहले से घटाने पर a³-a³=0, 3a²b-(-3a²b)=6a²b, 3ab²-3ab²=0 और b³-(-b³)=2b³ मिलता है। इसलिए परिणाम 6a²b+2b³ है। दोनों पदों में 2b समान है, इसलिए बाहर लेने पर 2b(3a²+b²) मिलता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B, 2a(a²+3b²), इस अंतर का परिणाम नहीं है; इसमें गलत सामान्य गुणनखंड है और यह जोड़ वाली पहचान से जुड़ा रूप हो सकता है। विकल्प C, 6ab, 2b³ पद को छोड़ देता है और घातें भी गलत हैं। विकल्प D, a³-b³, पूरे द्विपद घनों का विस्तार किए बिना लगाया गया गलत रूप है। a = 1 और b = 1 रखने पर मूल मान 8-0=8 और विकल्प A 2(3+1)=8 देता है। याद रखें: इस अंतर में कुछ पद कटते हैं, बचे पदों में 2b सामान्य होता है।
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