What is the correct factorisation of ( 64m^3-125n^3 )?( 64m^3-125n^3 ) का सही गुणनखंडन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( (4m-5n)(16m^2+20mn+25n^2) )सही रूप
The direct answer is A: \(64m^3-125n^3=(4m-5n)(16m^2+20mn+25n^2)\). First recognise \(64m^3=(4m)^3\) and \(125n^3=(5n)^3\). Use the difference-of-cubes identity \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Put \(a=4m\) and \(b=5n\). Then the factorisation is \((4m-5n)((4m)^2+(4m)(5n)+(5n)^2)\), which becomes \((4m-5n)(16m^2+20mn+25n^2)\). Option A is exactly this result. Option B uses the sum-of-cubes pattern and would represent \((4m)^3+(5n)^3\), not a difference. Option C has incorrect cube roots: \(8m\) cubed is \(512m^3\), not \(64m^3\), and its second factor is also wrong. Option D means \((4m-5n)^3\), which creates extra terms and is not the same as a simple difference of cubes. Memory cue: for \(a^3-b^3\), use “minus outside, all plus inside.”सीधा उत्तर A है: \(64m^3-125n^3=(4m-5n)(16m^2+20mn+25n^2)\)। पहले पहचानें कि \(64m^3=(4m)^3\) और \(125n^3=(5n)^3\)। घनों के अंतर की पहचान है \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)। अब \(a=4m\) और \(b=5n\) रखें। तब \((4m-5n)((4m)^2+(4m)(5n)+(5n)^2)\) प्राप्त होगा, जो सरल होकर \((4m-5n)(16m^2+20mn+25n^2)\) बनता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B घनों के योग जैसी संरचना देता है; वह \((4m)^3+(5n)^3\) के लिए होता, दिए गए अंतर के लिए नहीं। विकल्प C में घनमूल गलत हैं: \((8m)^3=512m^3\), जबकि हमें \(64m^3
\) चाहिए; उसका दूसरा गुणनखंड भी सही नहीं है। विकल्प D, \((4m-5n)^3\), पूरे द्विपद के घन को दर्शाता है और उसमें अतिरिक्त पद आते हैं; यह दो घनों के अंतर का सही गुणनखंडन नहीं है। याद रखें: \(a^3-b^3\) में “बाहर ऋण, अंदर सभी धन” होता है। अंत में गुणा करके मूल व्यंजक मिलना चाहिए।
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