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In Class 12 Mathematics, under Relations and Functions, students learn that a relation R on a set A is symmetric when (a, b) ∈ R always implies (b, a) ∈ R for every a, b ∈ A. They practise checking this condition from ordered pairs, rosters, mappings, and relation statements, and identify examples such as equality and sibling relationships. The topic also helps them distinguish symmetric relations from relations such as “less than” and apply the concept while studying properties of relations.
Expert · Level 6 · 19 questions
TOPIC PRACTICE
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It is symmetric
It is not symmetric
It is true only for zero
It is defined only for positive numbers
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It is symmetric
It is not symmetric
It is only reflexive
It is symmetric only when (A) has three elements
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Yes
No
Only when (a=b)
Only when (a=1)
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Not symmetric
Symmetric
Universal
Diagonal only
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((3,1))
((2,3))
((3,2))
((1,1))
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(2^{\frac{n(n+1)}{2}})
(2^{n^2})
(2^n)
(n^2)
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(R) is symmetric
(R) is only reflexive
(R) is only transitive
(R) cannot be empty
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Symmetric
Not symmetric
Only reflexive
Empty
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Because ((2,1)\in R) but ((1,2)\notin R)
Because every pair has its reverse
Because (a=2b) always gives (b=2a)
Because it has only diagonal pairs
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(2^4)
(2^3)
(2^2)
(2^5)
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(2^6)
(2^{10})
(2^4)
(2^{16})
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(2^6)
(2^{10})
(2^4)
(2^{12})
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Symmetric
Not symmetric
Only reflexive
Empty
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Yes
No
Only for (a=b)
Only for odd numbers
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It is not symmetric
It is symmetric
It is universal
It is empty
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No, a subrelation may lose a reverse pair
Yes, every subrelation is symmetric
Yes, because (R) is symmetric
No, because (S) is always empty
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Symmetric
Not symmetric
Reflexive
Universal
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(R^{-1}=R)
(R^{-1}\ne R)
(R^{-1}=\varnothing)
(R^{-1}=A\times A)
Question 1ExpertLevel 6
On (A={1,2,3,4}), (R={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,2)}). What is the minimum number of pairs to add to make it symmetric?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,2)}) है। सममित बनाने के लिए न्यूनतम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((1,4)) with ((4,1)) is complete, and ((2,3)) with ((3,2)) is also complete. Step 2: The reverse of ((1,2)), namely ((2,1)), is missing. Step 3: Adding just ((2,1)) makes the relation symmetric.चरण 1: ((1,4)) और ((4,1)) पूरे हैं, ((2,3)) और ((3,2)) भी पूरे हैं। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है। चरण 3: केवल एक युग्म ((2,1)) जोड़ने से संबंध सममित हो जाएगा।
On real numbers, relation (R) is defined by (aRb) if (|a|=|b|). What is correct about (R)?वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) इस प्रकार है: (aRb) तभी जब (|a|=|b|)। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (|a|=|b|), then the reversed equality (|b|=|a|) is also true. Step 2: Hence (aRb) implies (bRa). Step 3: Equality of absolute values gives symmetry directly.चरण 1: (|a|=|b|) होने पर बराबरी उलटकर (|b|=|a|) भी सत्य होगी। चरण 2: इसलिए (aRb) से (bRa) मिलता है। चरण 3: परिमाण की बराबरी वाले संबंधों में सममितता सीधे दिखती है।
On a set (A), (R={(a,b):a\ne b}). Choose the correct statement about (R).समुच्चय (A) पर (R={(a,b):a\ne b}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (a\ne b), then (b\ne a) is also true. Step 2: Hence whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it. Step 3: The not-equal condition does not change when the order is reversed.चरण 1: यदि (a\ne b), तो (b\ne a) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) संबंध में होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबर न होने की शर्त दिशा बदलने पर नहीं बदलती।
On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\text{ is odd}}). Is (R) symmetric?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\text{ is odd}}) है। क्या (R) सममित है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd. Step 2: Changing the order of addition does not change the sum or its parity. Step 3: Relations based on parity of a sum are usually easy symmetry checks.चरण 1: यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग और उसकी विषमता नहीं बदलती। चरण 3: योग की समता या विषमता पर आधारित संबंध सममितता में आसान होते हैं।
On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a<b}). Which statement is correct about (R)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a<b}) है। (R) के लिए कौन सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((1,2)) is in the relation because (1<2). Step 2: The reverse ((2,1)) is not in the relation because (2<1) is false. Step 3: Order relations like less than or greater than are generally not symmetric.चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2)। चरण 2: उल्टा युग्म ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि (2<1) असत्य है। चरण 3: छोटा या बड़ा जैसे क्रम संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते।
On (A={1,2,3}), (R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)}). Which pair should be added to make (R) symmetric?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)}) है। निम्न में से कौन सा युग्म जोड़ने पर (R) सममित हो जाएगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Diagonal pairs do not need a separate reverse pair. Step 2: ((1,2)) and ((2,1)) are complete, but ((1,3)) is missing its reverse ((3,1)). Step 3: Identifying the missing reverse pair is the key in such questions.चरण 1: विकर्ण युग्मों के लिए अलग उल्टा युग्म नहीं चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) पूरे हैं, लेकिन ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) गायब है। चरण 3: गायब उल्टे युग्म को पहचानना ऐसे प्रश्नों की कुंजी है।
What is the correct general form for the number of symmetric relations on an (n)-element set?किसी (n)-तत्वीय समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या का सही सामान्य रूप कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: There are (n) independent diagonal pairs. Step 2: Off-diagonal pairs ((a,b)) and ((b,a)) are chosen together, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such unordered pairs. Step 3: Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र होते हैं। चरण 2: गैर-विकर्ण युग्म ((a,b)) और ((b,a)) एक साथ चुने जाते हैं, ऐसे (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े होते हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं।
If a relation (R) satisfies (R=R^{-1}), which conclusion is correct about (R)?यदि किसी संबंध (R) के लिए (R=R^{-1}) है, तो (R) के बारे में कौन सा निष्कर्ष सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (R^{-1}) contains the reverse of all pairs of (R). Step 2: If (R=R^{-1}), then every pair has its reverse in the same relation, which is symmetry. Step 3: Treat (R=R^{-1}) as an alternative test for symmetry.चरण 1: (R^{-1}) में सभी युग्म उल्टे रूप में होते हैं। चरण 2: यदि (R=R^{-1}), तो हर युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है। यही सममितता है। चरण 3: (R=R^{-1}) को सममितता की वैकल्पिक पहचान मानें।
On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2=17}). What is (R)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2=17}) है। (R) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (a^2+b^2=17), then (b^2+a^2=17) also holds. Step 2: Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair also belongs to the relation. Step 3: Conditions involving sums of squares are often symmetric because order does not matter.चरण 1: यदि (a^2+b^2=17), तो (b^2+a^2=17) भी होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। चरण 3: वर्गों के योग जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं क्योंकि उनमें क्रम का प्रभाव नहीं होता।
On real numbers, (R={(a,b):a=2b}). Why is (R) not symmetric?वास्तविक संख्याओं पर (R={(a,b):a=2b}) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((2,1)) is in the relation because (2=2\cdot1). Step 2: The reverse ((1,2)) is not in the relation because (1\ne2\cdot2). Step 3: In multiplier relations, reversing changes the ratio, so look for a counterexample.चरण 1: ((2,1)) संबंध में है क्योंकि (2=2\cdot1)। चरण 2: उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1\ne2\cdot2)। चरण 3: गुणक संबंधों में उल्टा करने पर अनुपात बदल जाता है, इसलिए प्रतिवाद देखें।
On (A={1,2,3}), how many symmetric relations contain ((1,2)) and do not contain ((2,3))?समुच्चय (A={1,2,3}) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,2)) है और ((2,3)) नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a (3)-element set, there are (6) independent choices. Step 2: Including ((1,2)) forces ((2,1)), and excluding ((2,3)) also excludes ((3,2)); two independent choices are fixed. Step 3: Thus (4) independent choices remain, giving (2^4).चरण 1: तीन तत्वों पर कुल (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। चरण 2: ((1,2)) होने से ((2,1)) भी निश्चित हो गया, और ((2,3)) न होने से ((3,2)) भी नहीं होगा; ये दो स्वतंत्र चुनाव निश्चित हो गए। चरण 3: अब (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या (2^4) है।
On (A={1,2,3,4}), how many symmetric relations must contain all diagonal pairs ((a,a))?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें सभी विकर्ण युग्म ((a,a)) अवश्य हों?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The (4) diagonal pairs are compulsory, so their choices are fixed. Step 2: The number of independent off-diagonal unordered pairs is (\frac{4\cdot3}{2}=6). Step 3: Each of these (6) pairs can be chosen or omitted, so the answer is (2^6).चरण 1: (4) विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए उनका चुनाव निश्चित है। चरण 2: गैर-विकर्ण स्वतंत्र जोड़ों की संख्या (\frac{4\cdot3}{2}=6) है। चरण 3: केवल इन (6) जोड़ों को चुनना या छोड़ना है, इसलिए संख्या (2^6) है।
On (A={1,2,3,4}), how many symmetric relations contain no diagonal pair?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: All (4) diagonal pairs are fixed as absent. Step 2: Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is (\frac{4\cdot3}{2}=6). Step 3: Each of these (6) blocks can be included or excluded.चरण 1: सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। चरण 2: केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या (\frac{4\cdot3}{2}=6) है। चरण 3: इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है।
On real numbers, (R={(a,b):(a-b)^2=4}). What type of relation is it?वास्तविक संख्याओं पर (R={(a,b):(a-b)^2=4}) है। यह संबंध कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If ((a-b)^2=4), then ((b-a)^2=(-(a-b))^2=4). Step 2: Hence the reverse pair also belongs to the relation. Step 3: Squaring removes the effect of the negative sign, giving symmetry.चरण 1: यदि ((a-b)^2=4), तो ((b-a)^2=(-(a-b))^2=4)। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: वर्ग करने पर ऋण चिन्ह का प्रभाव मिट जाता है, इसलिए सममितता मिलती है।
On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a+b\le6}). Is (R) symmetric?समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a+b\le6}) है। क्या (R) सममित है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (a+b\le6), then (b+a\le6) also holds. Step 2: Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included. Step 3: Even inequality conditions based on a sum can be symmetric.चरण 1: यदि (a+b\le6), तो (b+a\le6) भी होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। चरण 3: योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है।
On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a+2b=6}). What is correct about (R)?समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a+2b=6}) है। (R) के लिए सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((4,1)) is in the relation because (4+2\cdot1=6). Step 2: The reverse ((1,4)) is not in the relation because (1+2\cdot4=9). Step 3: When coefficients of (a) and (b) differ, reversal often changes the condition.चरण 1: ((4,1)) संबंध में है क्योंकि (4+2\cdot1=6)। चरण 2: उल्टा ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1+2\cdot4=9)। चरण 3: जब (a) और (b) के गुणांक अलग हों, तो उल्टा करने पर शर्त अक्सर बदल जाती है।
A relation (R) on a set (A) is symmetric and (S\subseteq R). Must (S) be symmetric?किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) सममित है और (S\subseteq R) है। क्या (S) निश्चित रूप से सममित होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A symmetric larger relation may contain both a pair and its reverse. Step 2: A subrelation can choose only one of them, breaking symmetry. Step 3: Symmetry of a subrelation must be checked separately.चरण 1: सममित बड़े संबंध में किसी युग्म और उसका उल्टा दोनों हो सकते हैं। चरण 2: उपसंबंध बनाते समय इनमें से केवल एक युग्म चुना जा सकता है, जिससे सममितता टूट सकती है। चरण 3: उपसंबंध के लिए सममितता अलग से जाँचनी पड़ती है।
On (A={1,2,3}), (R={(1,2),(2,1)}) and (S={(2,3),(3,2)}). What is (R\cup S)?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,2),(2,1)}) और (S={(2,3),(3,2)}) हैं। (R\cup S) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (R) contains both ((1,2)) and ((2,1)). Step 2: (S) contains both ((2,3)) and ((3,2)), so the union keeps all reverse pairs. Step 3: The union of symmetric relations remains symmetric.चरण 1: (R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वह भाग पूरा है। चरण 2: (S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, इसलिए संघ में भी हर उल्टा युग्म मौजूद रहेगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ सममित रहता है।
On (A={1,2,3,4}), (R={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)}). Choose the correct statement about (R^{-1}).समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)}) है। (R^{-1}) के बारे में सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Every off-diagonal pair has its reverse already present in the relation. Step 2: ((3,3)) reverses to itself, so the inverse relation contains the same pairs. Step 3: If (R^{-1}=R), the relation is symmetric.चरण 1: हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा संबंध में मौजूद है। चरण 2: ((3,3)) अपना उल्टा स्वयं है, इसलिए उल्टा संबंध वही युग्म देगा। चरण 3: यदि (R^{-1}=R) मिले, तो संबंध सममित है।
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