Which condition is necessary and sufficient for a function \(f:A\to B\) to be one-one?किसी फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त कौन-सी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: For all \(x_1,x_2\in A\), \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)सभी \(x_1,x_2\in A\) के लिए \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)
In a one-one function, two different elements of the domain cannot have the same image. Hence, if \(f(x_1)=f(x_2)\), it must follow that \(x_1=x_2\); this is exactly option A. Option B is the condition for an onto function, which is not required for a function to be one-one. Option C directly shows that the function is not one-one. Exam tip: If equal outputs force the inputs to be equal, the function is one-one.एक-एक फलन में डोमेन के दो भिन्न अवयवों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। इसलिए यदि \(f(x_1)=f(x_2)\) हो, तो अनिवार्य रूप से \(x_1=x_2\) होना चाहिए; यही विकल्प A की शर्त है। विकल्प B सर्वेपी (onto) फलन की शर्त है, जो एक-एक होने के लिए आवश्यक नहीं है। विकल्प C स्पष्ट रूप से एक-एक होने का निषेध करता है। परीक्षा टिप: समान आउटपुट मिलने पर इनपुट भी समान सिद्ध हो जाए, तो फलन one-one है।
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