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In this Class 12 Mathematics topic from Inverse Trigonometric Functions, students learn why trigonometric functions must be restricted to suitable domains to have well-defined inverses. The topic explains the principal value branch, standard ranges of sin⁻¹x, cos⁻¹x, tan⁻¹x and related functions, and how these ranges determine the unique value returned by an inverse function. Students also practise interpreting graphs, selecting correct branches, and applying principal-value conventions while simplifying expressions and solving problems.
Medium · Level 1 · 25 questions
Practice questions
01What is cos⁻¹(−x) equal to when x ∈ [−1, 1]?जब x ∈ [−1, 1] हो, तब cos⁻¹(−x) किसके बराबर होता है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. π − cos⁻¹xπ − cos⁻¹x
Let θ = cos⁻¹x. By definition, θ lies in the principal range [0, π] and cos θ = x. Using the identity cos(π − θ) = −cos θ, we obtain cos(π − θ) = −x. Since π − θ also lies in [0, π], it is the principal angle whose cosine is −x. Therefore cos⁻¹(−x) = π − θ = π − cos⁻¹x, so option A is correct. The expression −cos⁻¹x is generally outside the principal range and incorrectly treats arccos as an odd function. Option C does not follow from the cosine subtraction identity, and option D would incorrectly claim that arccos has the same value for x and −x. The domain condition ensures both inverse values are real.मान लें θ = cos⁻¹x। परिभाषा के अनुसार θ का मुख्य परिसर [0, π] है और cos θ = x। अब पहचान cos(π − θ) = −cos θ से cos(π − θ) = −x प्राप्त होता है। साथ ही π − θ भी [0, π] में स्थित है, इसलिए यही वह मुख्य कोण है जिसका कोज्या −x है। अतः cos⁻¹(−x) = π − θ = π − cos⁻¹x और विकल्प A सही है। −cos⁻¹x सामान्यतः मुख्य परिसर से बाहर हो सकता है और यह गलत रूप से प्रतिलोम कोज्या को विषम फलन मानता है। विकल्प C कोज्या की किसी उपयुक्त पहचान से प्राप्त नहीं होता, जबकि विकल्प D x और −x के लिए समान मान मानता है, जो सही नहीं है। दी गई सीमा यह सुनिश्चित करती है कि दोनों मान वास्तविक हों।
Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए।
03If \(\alpha=\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), what is \(\alpha\) equal to?यदि \(\alpha=\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), तो \(\alpha\) किसके बराबर है?
Since \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Therefore \(-\frac{\pi}{3}\) is correct.\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह मुख्य परिसर में है। इसलिए \(-\frac{\pi}{3}\) सही है।
Since \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\). Remember the table of special values.\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\)। विशेष मानों की तालिका याद रखें।
05What is the principal value of \(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\)?\(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?
Since \(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). The answer must lie in the principal range.\(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर मुख्य परिसर में होना चाहिए।
06For a real number \(x\), in which interval does the principal value of \(\tan^{-1}x\) lie?वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान किस अंतराल में होता है?
The principal value of \(\tan^{-1}x\) is always chosen from \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). In this interval, \(\tan\theta\) is one-to-one, so every real \(x\) corresponds to exactly one angle. Option C is incorrect because \(\tan\theta\) is undefined at \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\). Exam tip: the endpoint angles are never included in the principal-value range of \(\tan^{-1}x\).\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान हमेशा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में लिया जाता है। इस अंतराल में \(\tan \theta\) एक-एक फलन है और प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक ही कोण देता है। विकल्प C सही नहीं है, क्योंकि \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\theta\) अपरिभाषित होता है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के लिए सिरों वाले कोण कभी शामिल नहीं होते।
Since \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). Keep the answer in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).\(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर हमेशा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में रखें।
08What is the principal value of \(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\)?\(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?
Since \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4}). The answer of (\cos^{-1}\) is not negative.\(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4})। (\cos^{-1}\) का उत्तर ऋणात्मक नहीं होता।
From \(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), so \(y=\frac{\pi}{3}\). Solve \(\csc^{-1}\) by relating it to \(\sin^{-1}\).\(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) से \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए \(y=\frac{\pi}{3}\) है। \(\csc^{-1}\) को \(\sin^{-1}\) से जोड़कर हल करें।
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. Always choose the value inside the principal range.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर में है। मुख्य मान हमेशा range में चुनें।
The output of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Therefore \(\theta\) must lie in this range.\(\sin^{-1}x\) का आउटपुट \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होता है। इसलिए \(\theta\) इसी range में होना चाहिए।
The principal output of (\cos^{-1}x) lies in ([0,\pi]). For equality, take (\theta) in that interval.(\cos^{-1}x) का principal output ([0,\pi]) में होता है। equality के लिए (\theta) को उसी interval में लें।
The principal range of (\tan^{-1}x) is ((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})). Since (\tan) is periodic, the principal interval is necessary.\(\tan^{-1}x\) का principal range \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) है। \(\tan\) period वाला है, इसलिए principal interval जरूरी है।
\(cosec\frac{\pi}{6}=2\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Think of \(cosec^{-1}x\) through \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\).\(cosec\frac{\pi}{6}=2\), इसलिए मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है। \(cosec^{-1}x\) को \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\) से जोड़कर सोचें।
\(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), so \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}\). Give the answer of \(\cos^{-1}x) in ([0,\pi]\).\(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) का उत्तर \([0,\pi]\) में दें।
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) means \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). Hence \(x=-\sqrt{3}\).\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) का अर्थ है \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)। इसलिए \(x=-\sqrt{3}\)।
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Keep the answer of \(\sin^{-1}x) in ([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह principal range में है। \(\sin^{-1}x\) के लिए answer \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें।
\(\cos\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\). Remember special values along with the principal range.\(\cos\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\)। special values को principal range के साथ याद करें।
19What is the principal value of \(\left(\tan^{-1}0\right)\) ?\(\left(\tan^{-1}0\right)\) का principal value क्या है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:C. \(0\)\(0\)
Principal value of \(\tan^{-1}x\) is the angle \(\theta\) in \(
\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) such that \(\tan\theta=x\). If \(x=0\), then \(\tan\theta=0\) which happens at \(\theta=0\). Hence \(\tan^{-1}0=0\).\(\tan^{-1}x\) का principal value वह कोण \(\theta\) है जो \(
\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) में हो और जिसके लिए \(\tan\theta=x\) हो। जब \(x=0\) हो, तो \(\tan\theta=0\) होगा, जो \(\theta=0\) पर होता है। इसलिए \(\tan^{-1}0=0\) है।
20If \(\theta=\cos^{-1}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\), what is the value of \(\sin\theta\)?यदि \(\theta=\cos^{-1}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\), तो \(\sin\theta\) का मान क्या है?
From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें।
21What is the value of \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\)?\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) का मान क्या है?
Here \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Hence the sum is \(\frac{\pi}{3}\).\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। इसलिए योग \(\frac{\pi}{3}\) है।
22Find the value of \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).निम्नलिखित का मान क्या है? \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. 00
The principal value range of \(\sin^{-1}x\) is \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) and for \(\cos^{-1}x\) it is \([0,\pi]\). Since \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), both inverse values equal \(\tfrac{\pi}{4}\). Therefore the difference is \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\). The nearest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is the value of each inverse separately, not their difference. Exam tip: always check the principal value intervals for inverse trig functions before subtracting.\(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([0,\pi]\) है। \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) होने पर दोनों इनवर्स फ़ंक्शन अपने प्रमुख मान के कारण \(\tfrac{\pi}{4}\) लेते हैं। अतः अंतर \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\)। नज़दीकी विचलन \(\tfrac{\pi}{4}\) गलत है क्योंकि वह अंतर नहीं बल्कि घटक का मान है। परीक्षा टिप: इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान (principal values) याद रखें—यही फर्क नतीजा तय करता है।
23What is the principal value of \(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\)?\(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?
\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), so the principal value is -\(\frac{\pi}{3}\). Keep the answer of \(\sin^{-1}x\) in \(-[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(-\frac{\pi}{3}\) है। \(\sin^{-1}x\) का उत्तर हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें।
24What is the principal value of \(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?\(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?
\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The answer of \(\cos^{-1}x\) is not negative.\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता।
25Find the principal value of \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)\).\(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)\) का principal value (प्रधान मान) ज्ञात कीजिए।
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:B. \(\pi/6\)\(\pi/6\)
The principal value of \(\tan^{-1}(y)\) lies in \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\). Now \(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}+\pi\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\). Therefore the angle whose tangent equals \(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\) and lies in \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) is \(\dfrac{\pi}{6}\). Hence the required value is \(\dfrac{\pi}{6}\).\(\tan^{-1}(y)\) का principal value \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) के बीच होता है। अब \(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}+\pi\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\). अतः जिसका \(\tan\) \(\tan\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\) के बराबर है और जो \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) में आता है, वह कोण \(\dfrac{\pi}{6}\) है। इसलिए वांछित मान \(\dfrac{\pi}{6}\) है।
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