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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Expert Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) दिया है। यह संक्रिया किस कारण से पूर्ण समूह नहीं बनाती?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Why does this operation not form a group on the whole set?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
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Correct Answer

D. कुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैंSome elements have no inverse

Step 1

Concept

संक्रिया \(\mathbb{Z}\) में बंद है और साहचर्य भी है। / The operation is closed in \(\mathbb{Z}\) and associative.

Step 2

Why this answer is correct

तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। / The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\).

Step 3

Exam Tip

(a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते। / For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse.

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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) दिया है। यह संक्रिया किस कारण से पूर्ण समूह नहीं बनाती? / On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Why does this operation not form a group on the whole set?

Correct Answer: D. कुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैं / Some elements have no inverse. Explanation: चरण 1: संक्रिया \(\mathbb{Z}\) में बंद है और साहचर्य भी है। चरण 2: तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। चरण 3: (a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते। / Step 1: The operation is closed in \(\mathbb{Z}\) and associative. Step 2: The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\). Step 3: For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse.

Why is option D correct in this Mathematics MCQ?

तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। / The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\).

What should I remember for this Mathematics concept?

(a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते। / For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse.