यदि \(\mathcal{P}(A)\) में 8 तत्व हैं, तो \(A\) के खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या कितनी होगी?

Correct Answer: C. 7. Explanation: पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में किसी सेट \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या होती है और यह \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) = \(|A|\)। दिए अनुसार \(2^n=8\) से \(n=3\)। कुल उपसमुच्चय 8 हैं; इनमें से खाली उपसमुच्चय एक ही होता है, अतः खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) है। निकटवर्ती विकल्‍पों का भेद: विकल्प A (3) केवल सेट के तत्वों की संख्या बताता है, विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, और विकल्प B (6) गलत घटाव पर आधारित है। परीक्षा सुझाव: तुरंत सोचें \(2^n\) से \(n\) निकालें और खाली उपसमुच्चय एक घटाएँ। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements where \(n=|A|\). Given \(2^n=8\), so \(n=3\). Thus there are 8 total subsets and exactly one of them is the empty set, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Why other choices are wrong: option A (3) confuses the number of elements of \(A\) with the number of non-empty subsets; option D (8) is the total number of subsets including the empty set; option B (6) has no correct basis here. Exam tip: use \(2^n\) to find \(n\) and then subtract 1 to exclude the empty set.