यदि \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) है तो \(A\) क्या होगा?

Correct Answer: B. \(\{x\}\). Explanation: घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय होते हैं, जिसमें हमेशा खाली समुच्चय \(\emptyset\) और स्वयं \(A\) शामिल रहते हैं। दिया गया \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) केवल दो सदस्य दिखाता है, इसलिए A का केवल एक तत्व है और वह नॉन-खाली उपसमुच्चय \(\{x\}\) के रूप में मौजूद है। अतः \(A=\{x\}\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{\emptyset\}\) इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(A=\{\emptyset\}\) होता तो \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) मिलता, जो दिया हुआ नहीं है। परीक्षा सुझाव: पहले \(|\mathcal{P}(A)|\) से \(|A|\) का अनुमान लगाएँ — अगर \(\mathcal{P}(A)\) में 2 तत्व हैं तो \(|A|=1\)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists of all subsets of \(A\), always including \(\emptyset\) and \(A\) itself. Here \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) has exactly two elements, so \(A\) must have one element, and the non-empty subset shown is \(\{x\}\). Therefore \(A=\{x\}\). The closest distractor \(\{\emptyset\}\) is wrong because if \(A=\{\emptyset\}\) then \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\), not the given set. Exam tip: use |P(A)|=2^{|A|} — two elements in the power set means |A|=1.