यदि \(f(x)=\sqrt{x-1}\) और \(g(x)=x-5\) हैं, तो \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) का प्रांत क्या है?

Correct Answer: A. \([1,\infty)\setminus\{5\}\). Explanation: \(\sqrt{x-1}\) के परिभाषित होने के लिए \(x-1\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 1\), होना चाहिए। साथ ही, भागफल के हर \(g(x)=x-5\) का शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\ne 5\)। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर प्रांत \([1,\infty)\setminus\{5\}\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर वर्गमूल \(0\) है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन के प्रांत में अंश और हर दोनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें तथा हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / For \(\sqrt{x-1}\) to be defined, \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). In addition, the denominator \(g(x)=x-5\) must be nonzero, so \(x\ne 5\). Combining these conditions gives the domain \([1,\infty)\setminus\{5\}\). Option B is incorrect because \(x=1\) is allowed: the square root is \(0\) there. Exam tip: for a quotient, intersect the domains of the numerator and denominator functions, then exclude every value that makes the denominator zero.