यदि \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) और \(g(x)=x^2\) हैं, तो \((f+g)(x)\) का डोमेन क्या होगा?

Correct Answer: A. \((1,\infty)\). Explanation: \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) में वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, लेकिन वर्गमूल हर में है, इसलिए वह शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x-1>0\), अर्थात् \(x>1\)। \(g(x)=x^2\) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, इसलिए \((f+g)\) का डोमेन दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होकर \((1,\infty)\) है। \(x=1\) को शामिल नहीं किया जा सकता क्योंकि हर शून्य हो जाएगा। परीक्षा-युक्ति: हर में स्थित वर्गमूल के लिए सामान्यतः मूलांक के अंदर की मात्रा को strictly positive रखें। / For \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), the radicand must be non-negative, but the square root is in the denominator, so it cannot be zero. Thus \(x-1>0\), giving \(x>1\). Since \(g(x)=x^2\) is defined for every real number, the domain of \((f+g)\) is the intersection of the two domains: \((1,\infty)\). The endpoint \(x=1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in a denominator, the radicand must be strictly positive.