यदि \(A=\{x,y,z\}\) है तो \(\mathcal{P}(A)\) में ऐसे कितने उपसमुच्चय होंगे जिनमें \(x\) शामिल हो?

Correct Answer: C. 4. Explanation: यदि \(x\) को रखना निश्चित है तो बचे हुए दो तत्त्व \(y\) और \(z\) के लिए प्रत्येक के पास दो‑दो विकल्प हैं: शामिल या नहीं। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) है। विकल्प (8) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है, न कि केवल वे जिनमें \(x\) है। विकल्प (3) तब गलत होगा जब कोई \(x\), \(x,y\), \(x,z\) को मात्र गिन लें और \(x,y,z\) को भूल जाएँ। परीक्षा सुझाव: सामान्य सूत्र याद रखें — किसी n तत्त्वों वाले समुच्चय में किसी निश्चित तत्त्व को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Fixing \(x\) means each of the remaining elements \(y\) and \(z\) can either be present or absent, so there are \(2^2=4\) subsets containing \(x\). Option (8) is the total number of subsets of \(A\) (\(2^3=8\)) and thus not restricted to those that contain \(x\). Option (3) misses the case where both \(y\) and \(z\) are included. Exam tip: use the formula — for a set of size \(n\), the number of subsets that contain a given element is \(2^{n-1}\).