If f(x)=log(x−2) and g(x)=√(8−x), what is the domain of (fg)(x)?यदि f(x)=log(x−2) और g(x)=√(8−x) हैं, तो (fg)(x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (2,8](2,8]
For the product (fg)(x)=f(x)g(x), both factors must be defined. The logarithm log(x−2) requires a strictly positive argument, so x−2>0 and hence x>2. The square root √(8−x) requires a non-negative radicand, so 8−x≥0 and hence x≤8. The domain is the intersection of these conditions: x>2 together with x≤8, which is (2,8]. The endpoint 2 is excluded because log 0 is undefined, whereas 8 is included because √0 is defined. Thus option A is correct. Option B incorrectly includes 2, option D ignores the square-root restriction, and option C reverses both relevant restrictions.गुणनफल (fg)(x)=f(x)g(x) के लिए दोनों घटक फलनों का परिभाषित होना आवश्यक है। लघुगणक log(x−2) के तर्क का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए x−2>0 अर्थात x>2। वर्गमूल √(8−x) के लिए मूलांक अऋण होना चाहिए, इसलिए 8−x≥0 अर्थात x≤8। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद x>2 और x≤8 है, इसलिए प्रांत (2,8] होगा। 2 को शामिल नहीं किया जा सकता, क्योंकि log 0 अपरिभाषित है; लेकिन 8 शामिल है, क्योंकि √0 परिभाषित है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में 2 को गलत रूप से शामिल किया गया है, विकल्प D वर्गमूल की सीमा छोड़ देता है और C दोनों शर्तों को उलट देता है।
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