If f(x)=√(4-x^2) and g(x)=x+1, what is the domain of (fg)(x)?यदि f(x)=√(4-x²) और g(x)=x+1 हों, तो (fg)(x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [-2,2][-2,2]
The governing concept is the domain of a product: both factors must be defined at the same real input. The linear function g(x)=x+1 is defined for every real x, so it adds no restriction. For f(x)=√(4-x^2), the radicand must satisfy 4-x^2≥0. This is equivalent to x^2≤4, hence -2≤x≤2. Therefore the product is defined exactly on the closed interval [-2,2]. The endpoints are included because the radicand is zero there, and √0 exists. Option B includes values below -2 incorrectly, option C keeps only values above 2, and option D ignores the square-root restriction. Thus option A is correct.गुणनफल के प्रांत का नियम है कि दोनों गुणक उसी वास्तविक x पर परिभाषित होने चाहिए। g(x)=x+1 एक रैखिक फलन है और प्रत्येक वास्तविक x के लिए परिभाषित है, इसलिए उससे कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं आता। f(x)=√(4-x²) के लिए मूल के अंदर का पद गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: 4-x²≥0। इसका अर्थ x²≤4 है, इसलिए -2≤x≤2। अतः (fg)(x) का प्रांत बंद अंतराल [-2,2] है। दोनों सिरों -2 और 2 को शामिल किया जाता है, क्योंकि वहाँ मूल के अंदर का पद शून्य है और √0 परिभाषित है। विकल्प B -2 से छोटे मानों को गलत रूप से रखता है, विकल्प C केवल 2 से बड़े मान लेता है, और विकल्प D वर्गमूल की शर्त की उपेक्षा करता है। इसलिए विकल्प A सही है।
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