If \(f(x)=\sqrt{x-1}\) and \(g(x)=\sqrt{3-x}\), what is the domain of \((f-g)(x)\)?यदि \(f(x)=\sqrt{x-1}\) और \(g(x)=\sqrt{3-x}\) हैं, तो \((f-g)(x)\) का प्रांत (domain) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(1\le x\le 3\)\(1\le x\le 3\)
\((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) is defined only when both square roots are real. Thus, \(x-1\ge0\) gives \(x\ge1\), and \(3-x\ge0\) gives \(x\le3\). Their intersection is \(1\le x\le3\), so option A is correct. Options B and C use the condition from only one square root and are therefore incomplete. Exam tip: for the sum or difference of functions, the domain is the intersection of the domains of all component functions.\((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों वर्गमूल वास्तविक हों। इसलिए \(x-1\ge0\) से \(x\ge1\) और \(3-x\ge0\) से \(x\le3\) प्राप्त होता है। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1\le x\le3\) है, इसलिए विकल्प A सही है। केवल एक वर्गमूल की शर्त लेने से मिलने वाले विकल्प B और C अधूरे हैं। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर वाले फलन का प्रांत संबंधित सभी फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है।
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