If \(f(x)=\frac{x}{x+2}\) and \(g(x)=\frac{3}{x-5}\), what is the domain of the product function \((fg)(x)=f(x)g(x)\)?यदि \(f(x)=\frac{x}{x+2}\) और \(g(x)=\frac{3}{x-5}\) हों, तो गुणनफल फलन \((fg)(x)=f(x)g(x)\) का परिभाषित क्षेत्र (domain) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\)\(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\)
The product is \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\), so both denominator factors must be non-zero. Thus, \(x\neq -2\) and \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\). Excluding only \(-2\) or only \(5\) is incomplete. Exam tip: the domain of a product function is the intersection of the domains of the two functions.गुणनफल \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों हर शून्य न हों। इसलिए \(x\neq -2\) और \(x\neq 5\), अतः domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\) है। केवल \(-2\) या केवल \(5\) को हटाना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल फलन का domain, दोनों फलनों के domains का intersection होता है।
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