What is the range of y = 1/(x^2 + 4)?फलन y = 1/(x^2 + 4) की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (0, 1/4](0, 1/4]
For every real number x, x^2 is non-negative, so x^2 + 4 is at least 4. Since the denominator is always positive, taking reciprocals gives 0 < 1/(x^2 + 4) ≤ 1/4. The upper endpoint is actually attained: when x = 0, y = 1/4. The lower endpoint 0 is not attained because the numerator remains 1 for every real x, although the function approaches 0 as |x| becomes arbitrarily large. Therefore the range is (0, 1/4], making option A correct. Option B incorrectly includes 0, option C lists possible denominator values, and option D ignores the bounds imposed by x^2 ≥ 0.हर वास्तविक x के लिए x^2 ≥ 0 होता है, इसलिए x^2 + 4 ≥ 4। चूँकि हर हमेशा धनात्मक है, उसके व्युत्क्रम के लिए 0 < 1/(x^2 + 4) ≤ 1/4 प्राप्त होता है। अधिकतम मान 1/4 वास्तव में प्राप्त होता है, क्योंकि x = 0 रखने पर y = 1/4 मिलता है। दूसरी ओर, 0 कभी प्राप्त नहीं हो सकता, क्योंकि अंश हमेशा 1 है; हालाँकि |x| बहुत बड़ा होने पर फलन 0 के बहुत निकट पहुँचता है। इसलिए रेंज (0, 1/4] है और विकल्प A सही है। विकल्प B में 0 को गलत रूप से शामिल किया गया है, विकल्प C हर के संभावित मान बताता है, और विकल्प D वर्ग-पद से मिलने वाली सीमाओं की उपेक्षा करता है।
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