What is the real domain of \(f(x)=\sqrt{16-x^2}\)?फलन \(f(x)=\sqrt{16-x^2}\) का वास्तविक डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \([-4,4]\)\([-4,4]\)
For a square-root function to have a real value, its radicand must be non-negative. Therefore require \(16-x^2\ge0\). Rearranging gives \(x^2\le16\), which is equivalent to \(|x|\le4\), or \(-4\le x\le4\). The endpoints are included because at \(x=4\) and \(x=-4\) the radicand is zero and the square root is defined, giving output 0. Values outside this interval make \(16-x^2<0\), so they do not produce real outputs. Hence the real domain is \([-4,4]\), option A. Option D incorrectly allows all real numbers, while options B and C retain only one side of the required symmetric interval.वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक, अर्थात मूलांक, शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(16-x^2\ge0\) आवश्यक है। इसे व्यवस्थित करने पर \(x^2\le16\) मिलता है, जो \(|x|\le4\) अथवा \(-4\le x\le4\) के बराबर है। दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा, क्योंकि \(x=4\) या \(x=-4\) पर मूलांक शून्य होता है और \(\sqrt0\) वास्तविक रूप से परिभाषित है। इस अंतराल के बाहर \(16-x^2<0\) हो जाता है, इसलिए फलन का वास्तविक मान नहीं मिलता। अतः वास्तविक डोमेन \([-4,4]\) है और विकल्प A सही है। विकल्प D सभी वास्तविक मानों को गलत रूप से शामिल करता है, जबकि B और C केवल एक दिशा का आधा भाग लेते हैं।
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