What is the domain of f(x)=√(x+3)/√(2−x)?फलन f(x)=√(x+3)/√(2−x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [-3,2)[-3,2)
The numerator and denominator impose different square-root conditions. For the numerator, x+3≥0, so x≥−3; equality is permitted because a zero numerator is valid. For the denominator, √(2−x) must be real and cannot be zero. Therefore the stronger condition is 2−x>0, giving x<2. Intersecting x≥−3 with x<2 yields −3≤x<2, or [-3,2). Hence option A is correct. The endpoint −3 is included because the numerator becomes zero while the denominator remains √5, which is nonzero. The endpoint 2 is excluded because the denominator becomes zero. Option B wrongly includes 2, option C wrongly excludes −3, and option D includes values below −3 where the numerator is not real.अंश और हर के वर्गमूलों से अलग-अलग शर्तें मिलती हैं। अंश के लिए x+3≥0, इसलिए x≥−3; बराबरी स्वीकार्य है क्योंकि शून्य अंश मान्य होता है। हर में √(2−x) है, इसलिए यह वास्तविक होने के साथ-साथ शून्य से अलग भी होना चाहिए। अतः 2−x>0, यानी x<2। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद −3≤x<2 देता है, इसलिए प्रांत [-3,2) है और विकल्प A सही है। x=−3 पर अंश शून्य और हर √5 रहता है, इसलिए −3 शामिल है। x=2 पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए 2 को हटाना आवश्यक है। विकल्प B, 2 को गलत रूप से शामिल करता है; C, वैध सीमा −3 हटाता है; और D, −3 से छोटे मान शामिल करता है जहाँ अंश का वर्गमूल वास्तविक नहीं रहता।
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