What is the range of f(x)=(x^2+1)/x?फलन f(x)=(x^2+1)/x का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (-∞,-2] ∪ [2,∞)(-∞,-2] ∪ [2,∞)
First rewrite the function as f(x)=x+1/x, with x≠0. To determine its range, let y=x+1/x. For x>0, the AM-GM inequality gives x+1/x≥2, with equality at x=1. Thus the positive branch has range [2,∞). For x<0, applying the corresponding inequality to −x shows x+1/x≤−2, with equality at x=−1. Thus the negative branch has range (-∞,−2]. Combining both branches gives (-∞,−2]∪[2,∞), option A. Values strictly between −2 and 2 cannot occur. Option B omits the negative branch, option C incorrectly excludes only zero, and option D lists precisely values that are not in the range.सबसे पहले f(x)=(x^2+1)/x को x+1/x के रूप में लिखें, जहाँ x≠0। परिसर ज्ञात करने के लिए y=x+1/x मान लें। यदि x>0, तो AM-GM असमानता से x+1/x≥2 मिलता है और बराबरी x=1 पर होती है। इसलिए धनात्मक शाखा का परिसर [2,∞) है। यदि x<0, तो इसी विचार को −x पर लागू करने से x+1/x≤−2 मिलता है और बराबरी x=−1 पर होती है। इसलिए ऋणात्मक शाखा का परिसर (-∞,−2] है। दोनों शाखाओं को मिलाने पर पूरा परिसर (-∞,−2]∪[2,∞) प्राप्त होता है और विकल्प A सही है। −2 और 2 के बीच के मान प्राप्त नहीं हो सकते। विकल्प B ऋणात्मक शाखा छोड़ देता है, C केवल शून्य हटाकर गलत मान शामिल करता है और D वास्तव में वे मान देता है जो परिसर में नहीं हैं।
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