If f(x) = ⌈3x⌉ and x ∈ (0, 1], what is the range of f?यदि f(x) = ⌈3x⌉ और x ∈ (0, 1] है, तो f का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: {1, 2, 3}{1, 2, 3}
The relevant idea is the range of the ceiling function on a restricted interval. Since 0<x≤1, multiplying by 3 gives 0<3x≤3. When 0<3x≤1, ⌈3x⌉=1; when 1<3x≤2, the ceiling is 2; and when 2<3x≤3, it is 3. All three outputs actually occur: for example, x=1/3 gives 1, x=1/2 gives 2, and x=1 gives 3. The value 0 never occurs because 3x is always positive, even when x approaches zero from the right. The output is always an integer, so the range is the set {1,2,3}, not a continuous interval. Therefore option A is correct. Option B incorrectly includes 0, option C omits 3, and option D describes an interval rather than the discrete output set.यह प्रश्न सीमित प्रांत पर छत फलन का परिसर ज्ञात करने से संबंधित है। 0<x≤1 होने पर दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर 0<3x≤3 मिलता है। यदि 0<3x≤1, तो ⌈3x⌉=1 होगा; यदि 1<3x≤2, तो मान 2 होगा; और यदि 2<3x≤3, तो मान 3 होगा। ये तीनों मान वास्तव में प्राप्त होते हैं: x=1/3 पर मान 1, x=1/2 पर मान 2 और x=1 पर मान 3 मिलता है। 0 कभी नहीं मिल सकता, क्योंकि 3x सदैव धनात्मक है, चाहे x शून्य के दाईं ओर कितना भी निकट क्यों न हो। छत फलन का परिणाम पूर्णांक होता है, इसलिए परिसर सतत अंतराल नहीं, बल्कि {1,2,3} का समुच्चय है। अतः विकल्प A सही है।
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