What is the domain of f(x)=1/√(x^2−2x−8)?फलन f(x)=1/√(x^2−2x−8) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (-∞,-2) ∪ (4,∞)(-∞,-2) ∪ (4,∞)
Two restrictions must be applied because the square root is in the denominator. First, the radicand must be nonnegative for a real square root; second, the denominator cannot be zero. Together these require x^2−2x−8 > 0. Factoring gives (x−4)(x+2)>0. A product of two factors is positive outside its roots, so x<−2 or x>4. The endpoints x=−2 and x=4 are excluded because the radicand becomes zero and the denominator would be zero. Thus the domain is (-∞,-2)∪(4,∞), option A. Option B incorrectly includes the undefined endpoints, option C chooses the interval where the expression is negative, and option D omits only the roots while wrongly including points between them.क्योंकि वर्गमूल हर में है, इसलिए दो शर्तें आवश्यक हैं: वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक और धनात्मक होनी चाहिए, तथा हर शून्य नहीं होना चाहिए। अतः x^2−2x−8 > 0 होना जरूरी है। इसका गुणनखंड (x−4)(x+2) है, इसलिए (x−4)(x+2)>0। दो रैखिक गुणकों का गुणनफल उनके मूलों के बाहर धनात्मक होता है; इसलिए x<−2 या x>4। x=−2 और x=4 पर वर्गमूल के अंदर 0 आता है और पूरा हर शून्य हो जाता है, इसलिए दोनों सिरों को हटाना होगा। इस प्रकार प्रांत (-∞,-2)∪(4,∞) है और विकल्प A सही है। विकल्प B सिरों को गलत रूप से शामिल करता है, C बीच का गलत अंतराल है और D बीच के ऐसे मान भी शामिल करता है जहाँ मूल के अंदर की राशि ऋणात्मक है।
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