What is the range of (f(x)=\frac{1}{|x+3|+2})?फलन (f(x)=\frac{1}{|x+3|+2}) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( (0,\frac{1}{2}] )( (0,\frac{1}{2}] )
The direct answer is A: the range is \\( (0,1/2] \\). Since an absolute value is never negative, \\( |x+3|\ge0\\), so the denominator satisfies \\( |x+3|+2\ge2\\). Therefore \\(0<f(x)\le1/2\\). Equality \\(1/2\\) occurs at x=-3, so the upper endpoint is included. The denominator can become arbitrarily large as x moves far from -3, so the fraction approaches 0, but it never equals 0; hence 0 is excluded. A is correct. B incorrectly includes 0. C reverses the behavior and says values start at 1/2 and increase without bound, but the reciprocal decreases as the denominator grows. D has the wrong upper bound 2; even at the smallest denominator the value is only 1/2. Memory cue: a positive reciprocal of a quantity at least 2 lies between 0 and 1/2, with 0 usually only approached.सीधा उत्तर A है: परिसर \\( (0,1/2] \\) है। Absolute value कभी negative नहीं होता, इसलिए \\( |x+3|\ge0\\)। अतः denominator \\( |x+3|+2\ge2\\), और उसका reciprocal \\(0<f(x)\le1/2\\)। x=-3 पर denominator 2 होता है, इसलिए \\(1/2\\) वास्तव में मिलता है और शामिल है। x को -3 से बहुत दूर ले जाने पर denominator बहुत बड़ा होता जाता है, इसलिए function 0 के पास जाता है, पर कभी 0 नहीं बनता; इसलिए 0 शामिल नहीं है। A सही है। B गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल है। C व्यवहार उलटा बताता है; denominator बढ़ने पर reciprocal घटता है, बढ़ता नहीं। D का upper bound 2 गलत है, क्योंकि maximum केवल 1/2 है। संकेत: denominator कम से कम 2 हो तो positive reciprocal अधिकतम 1/2 होगा।
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