What is the domain of f(x) = 1/√(log₅ x)?फलन f(x) = 1/√(log₅ x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, ∞)(1, ∞)
Because log₅x is under a square root in the denominator, two conditions are required: the logarithm must be defined and the square-root denominator must be strictly positive. The logarithm first requires x > 0. More importantly, √(log₅x) cannot be zero, so log₅x > 0. Since the base 5 is greater than 1, the logarithm is positive exactly when x > 1. Therefore the domain is (1, ∞), which is option C. Option A includes 0 < x ≤ 1, where log₅x is non-positive; option B incorrectly includes x = 1, making the denominator zero; and option D contains values for which log₅x is negative, so the square root is not real.यहाँ log₅x वर्गमूल के अंदर और हर में है, इसलिए दो शर्तें आवश्यक हैं: लघुगणक परिभाषित हो और हर का वर्गमूल शून्य से बड़ा हो। लघुगणक के लिए x > 0 चाहिए। लेकिन हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए वास्तव में log₅x > 0 आवश्यक है। चूँकि आधार 5, 1 से बड़ा है, log₅x धनात्मक ठीक तब होता है जब x > 1। अतः प्रांत (1, ∞) है और विकल्प C सही है। विकल्प A में 0 < x ≤ 1 के मान भी हैं, जहाँ लघुगणक गैर-धनात्मक है। विकल्प B x = 1 को शामिल करता है, पर वहाँ हर शून्य हो जाता है। विकल्प D में log₅x ऋणात्मक होता है, इसलिए वर्गमूल का मान वास्तविक नहीं रहता।
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