What is the range of (f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1})?फलन (f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( (1,3] )( (1,3] )
The direct answer is A: (1,3]. Put t=x². Since x is real, t≥0. Then f(x)=(t+3)/(t+1)=1+2/(t+1). Because t≥0, t+1≥1, so 0<2/(t+1)≤2. Hence 1<f(x)≤3. The value 3 occurs at t=0, that is, x=0. The value 1 is never reached because 2/(t+1) is always positive, although it approaches 0 as |x| becomes very large. Option A is correct. Option B includes 1, which is impossible. Option C wrongly says values begin at 3 and extend upward. Option D contains values below 1, but the expression is always greater than 1. Memory cue: when a positive fraction is added to 1, the result is greater than 1; inspect whether the endpoint is included.सीधा उत्तर A है: (1,3]। t=x² रखें। वास्तविक x के लिए t≥0 होगा। तब f(x)=(t+3)/(t+1)=1+2/(t+1)। क्योंकि t+1≥1 है, इसलिए 0<2/(t+1)≤2। अतः 1<f(x)≤3। t=0 अर्थात x=0 पर f(x)=3 मिलता है, इसलिए 3 शामिल है। लेकिन 1 कभी नहीं मिलता, क्योंकि 2/(t+1) हमेशा धनात्मक है; वह केवल बहुत बड़े |x| पर 0 के पास जाता है। इसलिए 1 खुला endpoint है। विकल्प A सही है। B में 1 शामिल है, जो गलत है। C में 3 से बड़े मान भी हैं, जो सम्भव नहीं। D में 1 से छोटे मान हैं, जबकि फलन हमेशा 1 से बड़ा है। याद रखें: endpoint को शामिल करने से पहले जाँचें कि वह वास्तव में प्राप्त होता है या केवल सीमा के रूप में आता है।
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