If (f(x)=x^2-4x+8) and (x\in[0,5]), what is the range of (f)?यदि (f(x)=x^2-4x+8) और (x\in[0,5]), तो (f) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [4,13] )( [4,13] )
The direct answer is B: the range is \\( [4,13] \\). Complete the square: \\(f(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\\). Since a square is at least zero, the minimum is 4, attained at x=2, which lies in [0,5]. For the maximum on this interval, check the endpoints: \\(f(0)=8\\) and \\(f(5)=25-20+8=13\\). Therefore the largest value is 13, and the continuous parabola takes every value between 4 and 13. B is correct. A stops at 8 and misses values such as 10 and 13. C wrongly includes values below the minimum 4. D starts at 8 and misses the minimum and intermediate values. The vertex is inside the interval, so it must be checked; then endpoints determine the maximum. Memory cue: rewrite a quadratic as \\( (x-h)^2+k\\) to see its minimum.सीधा उत्तर B है: परिसर \\( [4,13] \\) है। पूर्ण वर्ग बनाइए: \\(f(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\\)। किसी square का मान कम से कम 0 होता है, इसलिए न्यूनतम 4 है। यह x=2 पर मिलता है और 2, [0,5] में है। अधिकतम के लिए endpoints जाँचें: \\(f(0)=8\\) और \\(f(5)=25-20+8=13\\)। अतः maximum 13 है। quadratic continuous है, इसलिए 4 से 13 के बीच का हर मान मिलता है। B सही है। A 8 पर रुक जाता है और 10 तथा 13 जैसे मान छोड़ देता है। C में 4 से छोटे असंभव मान हैं। D में 8 से शुरुआत करके minimum 4 और बीच के मान छूट जाते हैं। संकेत: quadratic को \\( (x-h)^2+k\\) में बदलने से minimum तुरंत दिखता है; फिर interval के endpoints देखें।
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