What is the range of (f(x)=\sqrt{x^2-1})?फलन (f(x)=\sqrt{x^2-1}) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [0,\infty) )( [0,\infty) )
The direct answer is A: [0,∞). A square root can never be negative. First require x²−1≥0, so x≤−1 or x≥1; this is the domain. At x=1 or x=−1, f(x)=√0=0, so 0 is included. For any y≥0, choose x=√(y²+1), which belongs to the domain; then √(x²−1)=√y²=y. Therefore every non-negative real number occurs, and no negative number can occur. Option A is correct. Option B [1,∞) wrongly excludes the value 0 and all values between 0 and 1. Option C includes negative outputs, impossible for a square root. Option D contains only non-positive values and misses all positive outputs. Memory cue: √ means the principal, non-negative root; check both domain and range.सीधा उत्तर A है: [0,∞)। वर्गमूल का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। पहले domain के लिए x²−1≥0 लगाएँ, जिससे x≤−1 या x≥1 मिलता है। x=1 या x=−1 पर f(x)=√0=0, इसलिए 0 परिसर में शामिल है। अब किसी भी y≥0 के लिए x=√(y²+1) लें। तब x domain में है और √(x²−1)=√y²=y होगा। इसलिए हर अनऋणात्मक वास्तविक संख्या प्राप्त हो सकती है, लेकिन कोई ऋणात्मक संख्या नहीं। विकल्प A सही है। B गलत है क्योंकि वह 0 और 0 से 1 के बीच के मान छोड़ देता है। C में ऋणात्मक मान हैं, जो square root से नहीं मिल सकते। D केवल ऋणात्मक और शून्य मान देता है, जबकि धनात्मक मान भी मिलते हैं। याद रखें: √ का मुख्य मान हमेशा non-negative होता है।
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