What is the range of f(x) = 5 − √(x² + 1)?फलन f(x) = 5 − √(x² + 1) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (−∞, 4](−∞, 4]
Since x² ≥ 0 for every real x, we have x² + 1 ≥ 1. Taking square roots gives √(x² + 1) ≥ 1. Therefore 5 − √(x² + 1) ≤ 4, and equality occurs at x = 0, so the upper endpoint 4 is included. As |x| tends to infinity, √(x² + 1) becomes arbitrarily large, making f(x) decrease without bound. Thus all values less than or equal to 4 occur, and the range is (−∞, 4]. Option B reverses the direction of the inequality. Option C incorrectly includes values between 4 and 5, although the square-root term is never below 1. Option D imposes an unjustified lower bound of 0; the function can be negative and can become arbitrarily small.हर वास्तविक x के लिए x² ≥ 0 होता है, इसलिए x² + 1 ≥ 1। वर्गमूल लेने पर √(x² + 1) ≥ 1 प्राप्त होता है। अतः 5 − √(x² + 1) ≤ 4 होगा। x = 0 पर वर्गमूल का मान 1 है और फलन का मान 4 मिलता है, इसलिए 4 परिसर में शामिल है। जब |x| अनंत की ओर बढ़ता है, तब √(x² + 1) भी अनंत की ओर बढ़ता है और फलन का मान बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए 4 से छोटी या बराबर प्रत्येक वास्तविक संख्या प्राप्त होती है और परिसर (−∞, 4] है। विकल्प B असमानता की दिशा उलट देता है। C में 4 और 5 के बीच के असंभव मान हैं, जबकि D अनुचित रूप से 0 को निम्न सीमा मानता है।
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