If the range of f(x) = ax² + 4 is [4, ∞), which condition on a is correct?यदि f(x) = ax² + 4 का परिसर [4, ∞) है, तो a के लिए कौन-सी शर्त सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: a > 0a > 0
For every real x, x² ≥ 0. If a > 0, then ax² ≥ 0, so f(x) = ax² + 4 is at least 4. The minimum value 4 is attained at x = 0. Moreover, as |x| increases, ax² can take every non-negative value, so the range is exactly [4, ∞). If a < 0, the parabola opens downward and its range is (−∞, 4], not the stated interval. If a = 0, the function is constant and its range is only {4}, not an unbounded interval. Therefore the necessary and sufficient condition is a > 0. Option D is too broad because it also includes negative a, which produces the opposite type of range. The conclusion follows from the sign of the quadratic coefficient.हर वास्तविक x के लिए x² ≥ 0 होता है। यदि a > 0 है, तो ax² ≥ 0 होगा, इसलिए f(x) = ax² + 4 का प्रत्येक मान 4 या उससे बड़ा होगा। x = 0 पर न्यूनतम मान 4 प्राप्त होता है। इसके अतिरिक्त |x| बढ़ने पर ax² हर अनऋणात्मक मान ले सकता है, इसलिए परिसर ठीक [4, ∞) बनता है। यदि a < 0 हो, तो परवलय नीचे की ओर खुलेगा और परिसर (−∞, 4] होगा, जो दिए गए परिसर से भिन्न है। यदि a = 0 हो, तो फलन स्थिर होकर केवल 4 मान लेगा और परिसर {4} होगा। इसलिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त a > 0 है। विकल्प D पर्याप्त विशिष्ट नहीं है, क्योंकि उसमें ऋणात्मक a भी शामिल हैं। यह निष्कर्ष द्विघात पद के गुणांक के चिह्न पर आधारित है।
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