What is the simple range of (f(x)=\sqrt{x^2-4x+4})?फलन (f(x)=\sqrt{x^2-4x+4}) का सरल परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [0,\infty) )( [0,\infty) )
The direct answer is A: [0,∞). First simplify the expression: x^2-4x+4=(x-2)^2, so f(x)=√((x-2)^2)=|x-2|. An absolute value can never be negative. Its smallest value is 0, reached when x=2. As x moves away from 2, |x-2| can become any positive number; for example, choosing x=2+t gives f(x)=t for every t≥0. Therefore the range is [0,∞). Option A is correct because it includes zero and every non-negative real value. Option B, (0,∞), wrongly excludes zero, even though f(2)=0. Option C, [2,∞), wrongly says the minimum is 2; the actual minimum is 0. Option D, all real numbers, is wrong because the square-root output is never negative. Remember that √(u^2)=|u|, not simply u, and an absolute value has a V-shaped graph with lowest point on the x-axis. Exam cue: whenever a square root contains a perfect square, simplify it using an absolute value and then identify the least possible output.सीधा उत्तर A है: [0,∞)। पहले अंदर के बहुपद को सरल करें: x^2-4x+4=(x-2)^2। इसलिए f(x)=√((x-2)^2)=|x-2|। निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। इसका सबसे छोटा मान 0 है, जो x=2 पर मिलता है। x, 2 से जितना दूर जाता है, |x-2| उतना बढ़ता है; वास्तव में x=2+t लेने पर प्रत्येक t≥0 के लिए f(x)=t मिलता है। इसलिए परिसर [0,∞) है। विकल्प A सही है क्योंकि इसमें 0 और सभी अनऋणात्मक वास्तविक मान शामिल हैं। विकल्प B, (0,∞), गलत है क्योंकि वह 0 को निकाल देता है, जबकि f(2)=0 है। विकल्प C, [2,∞), गलत है क्योंकि न्यूनतम मान 2 नहीं बल्कि 0 है। विकल्प D, सभी वास्तविक संख्याएँ, गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। ध्यान रखें कि √(u^2)=|u| होता है, केवल u नहीं। इसका आलेख V के आकार का होता है और उसका सबसे निचला बिंदु x-अक्ष पर होता है। परीक्षा संकेत: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को निरपेक्ष मान में बदलकर सबसे छोटा मान खोजें।
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