What is the range of f(x) = (x² − 4)/(x − 2)?फलन f(x) = (x² − 4)/(x − 2) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ℝ \ {4}ℝ \ {4}
The key point is that cancellation does not change the original domain restriction. Factor the numerator: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Since the denominator requires x ≠ 2, the function simplifies to f(x) = x + 2 only for x ≠ 2. The linear expression x + 2 can produce every real value except 4: obtaining output 4 would require x + 2 = 4, hence x = 2, but that input is excluded from the original function. Every other real output y is achieved by choosing x = y − 2, which is allowed whenever y ≠ 4. Thus the range is ℝ \ {4}. Option B confuses the excluded input with the excluded output; option C forgets the hole, and option D incorrectly treats the function as bounded.यहाँ मुख्य बात यह है कि गुणनखंड काटने के बाद भी मूल फलन की परिभाषा में लगी पाबंदी समाप्त नहीं होती। अंश को लिखें: x² − 4 = (x − 2)(x + 2)। मूल हर के कारण x ≠ 2 होना आवश्यक है, इसलिए केवल इनपुट x ≠ 2 के लिए f(x) = x + 2 लिखा जा सकता है। अब आउटपुट 4 प्राप्त करने के लिए x + 2 = 4, अर्थात x = 2 चाहिए, लेकिन यह इनपुट निषिद्ध है। दूसरी ओर किसी भी वास्तविक y के लिए, यदि y ≠ 4, तो x = y − 2 चुनने पर x ≠ 2 और f(x) = y मिलता है। इसलिए परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, केवल 4 को छोड़कर। विकल्प B निषिद्ध इनपुट 2 को परिसर से हटाता है, C छेद को भूल जाता है और D अनुचित रूप से परिसर को सीमित करता है।
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